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山东烟台市招远市2025-2026学年第二学期期末考试数学试题
一、单选题
1．一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有3个黄球和1个绿球，其余都是白球，从中随机摸出一个小球，恰好是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知△ABC≌△DFE，则∠DEF的对应角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DFE
4．若关于的一元一次不等式组的解集为，则多项式可以是（ ）
A． B． C． D．
5．有两条纸带，较长的一条为，较短的一条为，把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长纸带的长度不少于较短纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
7．若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．垂直平分
C． D．
9．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，点和点恰好都落在点处．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的不等式组，下面是某数学学习小组给出的结论：①当时，此不等式组无解；②若不等式组的解集是，则；③若此不等式组有整数解，则；④若不等式组的整数解只有，，，则．其中结论正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．地理研究小组了解到：某种珍稀植物生长的海拔高度不低于1000米，且不高于1700米，设这种珍稀植物生长的海拔高度为米，则的取值范围为________．
12．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________．
13．对于任意实数，，定义一种新运算“”，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：不等式的解集为________．
14．如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则的度数是______．
15．如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式的解集是________．
16．如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________．
三、解答题
17．解下列不等式组：
(1)；
(2)
18．如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由．
19．一只不透明的袋子中装有若干个红球、若干个白球和8个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是．
(1)请直接写出袋中一共装有__________个球；
(2)若袋中有红球16个，求摸到白球的概率；
(3)若摸到红球的概率是摸到白球的概率的3倍，则袋中红球、白球各有多少个？
20．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考：
如图1，由尺规作图可知，，①
所以（②），（填全等判定依据，如）
（1）完成上述小明思考过程中的填空；
（2）【操作应用】
如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使；
（3）如图3，在四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
21．已知一次函数，完成下列问题：

(1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）；
(2)画出该函数的图象，并根据图象回答：
当_________时，；
当时，的取值范围为_________；
当时，的取值范围_________．
22．为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？
23．已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，，判断线段，与之间的关系，并说明理由．
24．高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．
(1)若先接温水23秒，求再接开水的时间；
(2)设接温水的时间为秒，接到水杯中水的温度为．
①若，求的值；
②求关于的函数关系式，并直接写出达到最佳水温时的取值范围．
25．综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用．
【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则．
证明如下：，是和的角平分线，
，，
，
，
．
【问题解决】
(1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明．
【拓展创新】
(2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数．
参考答案
1．B
【详解】解：∵盒子中共有10个小球，其中有3个黄球和1个绿球，其余是白球，
∴白球的数量为个，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是白球的概率为，
2．A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解集在数轴上表示如图：
3．C
【详解】解：∵△ABC≌△DFE，
∴∠DEF的对应角是∠ACB．
故选：C．
4．B
【详解】解：解不等式，得 ，
∵不等式组的解集为，
∴的解集为，
逐个验证选项：
选项A：，解得，不符合题意；
选项B：，解得，符合题意；
选项C：，解得，不符合题意；
选项D：，解得，不符合题意．
5．D
【详解】解：设剪下的长度为，
∵剪下相同长度后，较长纸带剩余长度为，较短纸带剩余长度为，要求较长纸带长度不少于较短纸带长度的两倍，
∴列不等式得，
展开得，
移项整理得，
∴剪下的长度至少是．
6．D
【详解】解：如图，过点P作于M，于N，
∵平分，
∴，．
∴．
∴此时，是等边三角形．
当M向方向移动，N向方向移动，且．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
∴当M向方向移动，N向方向移动时，且，
∴是等边三角形．
同理：当M向方向移动，N向方向移动时，且，
∴是等边三角形．
综上：满足条件的有无数个．
7．A
【详解】解：解不等式 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ，
∵不等式组 的解集是 ，
∴．
8．D
【详解】由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以A选项的结论正确;
∴△OCG为等边三角形，
OG = CG，
所以C选项的结论正确;
在Rt△OCM中，∵∠COM =30°
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴ OC ≠2FG，
所以D选项的结论错误
故选：D.
9．C
【详解】解：根据题意得：，
，，
由折叠的性质得：，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
10．A
【详解】解：解不等式组，
解不等式：得，
解不等式，得，
逐个判定结论：
①当时，与没有公共解集，因此不等式组无解，因此①说法正确；
②若不等式组解集为，则，因此②说法正确；
③若不等式组有整数解，则需满足，当时，不等式组无整数解，因此③说法错误；
④若不等式组的整数解只有，，，则的取值范围是，并不一定等于，因此④说法错误；
综上，正确的结论是①②．
11．
【详解】解：“海拔高度不低于1000米”，即．
“海拔高度不高于1700米”，即．
∴可得的取值范围为．
12．（答案不唯一）
【详解】解：当时，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴可添加．
13．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
14．30°或60°
【详解】解：如图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB=AC，∠ABC=80°，
∴∠ACB=ABC=80°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-80°-80°=20°，
∵CA=CP1，
∴，
∴∠BAP1=∠CAP1-∠CAB=50°-20°=30°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB=AC，∠ABC=80°，
∴∠ACB=∠ABC=80°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-80°-80°=20°，
∵CA=CP2，
∴，
∴∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=40°+20°=60°；
由上可得，∠BAP的度数是30°或60°，
故答案为：30°或60°．
15．
【详解】解：将代入得，
，解得，
∴，
将代入得，
，解得，
∴，
当时，，
则直线与轴的交点坐标为，
∴不等式的解集是．
16．/88度
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵
解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：∵
解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：．
18．
理由如下：
是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
【详解】略
19．(1)32；
(2)；
(3)袋中有红球18个，白球6个
【详解】（1）解：（个）
∴袋中一共装有32个球；
（2）解：由（1）可知，袋中一共装有32个球，
则白球的个数为：
故；
（3）解：由题意可知，袋中红球的数量是白球数量的3倍，
设袋中有个白球，个红球，
依题意得，
解得，
∴，
故袋中有红球18个，白球6个．
20．（1）①，②；（2）见解析；（3）见解析．
【详解】解：（1）如图1，由尺规作图可知，，
所以．
故答案为：，．
（2）如图2，先任意作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接，则即为所求．
（3）如图3，作的平分线，交于点E，则．
∵，
∴，则点E即为所求．
21．(1)，；
(2)解：列表，
描点，连线，
；；；
【详解】（1）解：由一次函数得
当时，，
解得；
当时，，
∴点的坐标为，与轴交点的坐标为，
（2）解：由图象可知：当时，，
由图象可知：当时，的取值范围为，
由图象可知：当时，的取值范围，
22．政府补贴至少应为0.93元/千克
【详解】解：；
，
∵要使市场价格不高于9元/千克，由题意得：，
解之得，
∴政府补贴至少应为0.93元/千克．
23．(1)证明：延长交于点，如图，
，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
(2)解：，理由如下：
在上截取，连接，如图，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，，
又，
，即．
【详解】（1）略
（2）略
24．(1)再接开水的时间为16秒
(2)①；②与的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围为
【详解】（1）解：设接开水的时间为秒，
根据题意得：， 解得．
答：再接开水的时间为16秒．
（2）解：①由题意得：温水体积为，开水体积为，
∵开水体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度，
∴，解得．
②由题意得：，
整理得：，
∵饮水最佳温度是（包括与），
∴，解得．
答：与的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围．
25．(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为，
证明：，是和的角平分线，
，，
，
又，，
，
∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为．
(2)
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
由题干的结论得：，
．

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