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第15章 轴对称图形与等腰三角形
课题2 轴对称图形的性质
沪科版 八年级 数学（上）
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什么是轴对称图形，举例说明？
答：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够_________，那么这个图形叫作_____________，这条直线叫作_________．
完全重合
轴对称图形
对称轴
线段、角、等腰三角形、平行四边形、圆、正多边形哪些是轴对称图形？
线段、角、等腰三角形、圆、正多边形都是轴对称图形．
探究新知
知识模块一　轴对称的定义
观察下图两对图形，其中的每一对图形，它们在一条直线（图中画成虚线）的两旁，将图 (1)、(2) 分别沿图中的直线 l 折叠，你会发现什么
l
l
一个轴对称图形，如果把它沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称.
l
如右图，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的两点叫作对应点（也叫对称点）.
归纳
D
B
下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？
C
A
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别
联系
两个有特殊位置关系的全等图形
1. 都是沿着某条直线折叠后能重合；
2. 可以通过分割或整合互相转化.
一个图形具有的特殊形状
比较归纳
什么叫两个图形成轴对称？
把一个图形沿着______________折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就称这两个图形______________________，这条直线就是________．折叠后重合的两点叫作__________________．
某一条直线
重合
关于这条直线(成轴)对称
对称轴
对应点(也叫对称点)
典例：下列选项中的右边图形与左边图形成轴对称的是 ( )
C
仿例：观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是 ( )
C
知识模块二 成轴对称图形的性质与画法
如图，△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，点 A'，B'，C' 分别是点 A，
B，C 的对应点. 连接 AA'，
BB'，CC'，分别与直线 l
交于点 O1 ，O2 ，O3 .
A
B
C
A′
B′
C′
O3
O1
O2
l
(1) 直线 l 与线段 AA' 有怎样的位置关系？直线 l 与线段 BB' 呢？直线 l 与线段 CC' 呢
(2) O1A 与 O1A' 的长有何关系？ O2B 与 O2B' 呢？
O3C 与 O3C' 呢
l 与 AA' 、BB' 和 CC' 都是垂直的.
长度相等，O1A = O1A'，O2B = O2B' ，O3C = O3C'.
A
B
C
A′
B′
C′
O3
O1
O2
l
性质：如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线.
归纳
A
B
C
A′
B′
C′
O3
O1
O2
l
反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
轴对称图形的性质
A
B
A′
B′
M
N
如图，MN 垂直平分 AA ′，MN 垂直平分 BB ′.
如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形 ABCD，其中∠BAD ＝ 150°，∠B ＝ 40°，则∠BCD 的度数是 (　　)
A．130° B．150°
C．40° D．65°
解析：因为这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，
所以∠BAC＝∠DAC＝75°，∠BCA＝∠DCA.
所以∠BCA＝180°－75°－40°＝65°. 所以∠BCD＝130°.
A
方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.
如何画一个点关于某条直线的轴对称图形？
画出点 A 关于直线 l 的对称点 A′.
﹒
l
A
﹒
A′
O
作法：
(1) 过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 O；
(2) 在垂线上 l 的另一侧截取 OA′ = OA.
则点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点.
如何画一条线段的对称图形？
已知线段 AB，画出 AB 关于直线 l 的对称线段.
A
B
(图1)
(图2)
(图3)
A
B
l
l
A
B
l
A′
A′
A′
B′
(B′)
B′
如图，已知△ABC 和直线 l，作出与△ABC关于直线 l 对称的图形.
A
B
C
分析：△ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要分别画出这三个顶点关于直线 l 的对应点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.
作法：(1) 过点 A 做直线 l 的垂线，垂足为点 O，在垂线上截取 OA′ = OA，A′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点.
(3) 连接 A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′ 即为所求.
(2) 同理，分别作出点 B，C 关于直线 l 的对称点 B′，C′.
A
B
C
A′
B′
C′
O
几何图形都可以看作由点组成的.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段的端点，三角形、四边形的顶点等）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
作轴对称图形的方法
轴对称的性质是什么？如何判定两个图形关于某条直线对称？
答：两个图形关于某条直线对称，对称轴是任何一对________所连线段的______________．
判断方法：如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线______________，那么这两个图形关于______________．
对应点
垂直平分线
垂直平分
某直线对称
什么是线段的垂直平分线？
答：经过______________并且_________这条线段的________叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的__________．
线段的中点
垂直于
直线
中垂线
典例：如图，在边长为单位1的正方形网格中有△ABC，点A，B，C都在格点上．
(1)求△ABC的面积；
解：(1)△ABC的面积为3×3－×1×2－×2×3－×3×1＝；
A
B
C
M
N
(2)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)在图中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.
A1
C1
B1
A
B
C
M
N
课堂小结
轴对称
轴对称
定义
性质
画轴对称图形
原理
方法
线段的垂直平分线
对称轴是对称点连线段的垂直平分线
(1)找特征点
(2)作垂线
(3)截取等长
(4)依次连线
随堂检测
1. 如图，△ABC 与△DEF 关于直线 MN 轴对称，则以下结论中错误的是（　　）
A．AB∥DF
B．∠B = ∠E
C．AB = DE
D．AD 的连线被 MN 垂直平分
A
A
B
C
D
E
F
N
M
2. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′ 处，折痕为 CD，则∠A′DB 的度数为______.
10°
A
D
C
A′
B
3. 如图，画△ABC 关于直线 m 对称的图形.
m
A
B
C
(A′)
C′
B′
4. 如图，把下列图形补成关于直线 l 的对称图形.

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