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第15章 轴对称图形与等腰三角形
课题5 线段垂直平分线的尺规作图
沪科版 八年级 数学（上）
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如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意他的判断吗？
同意
探究新知
知识模块一 线段垂直平分线的尺规作图
探究 怎样得到线段的垂直平分线？
方法一：
用刻度尺量出线段的长，找出线段的中点，再过中点用三角板画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线.
方法二：
通过折纸也可以得到线段的垂直平分线. 如图，在半透明纸上画一条线段 AA'，折叠使点 A 与 A' 重合，得到的折痕 l 所在的直线就是线段 AA' 的垂直平分线.
A
A'
A(A')
l
O
A
A'
l
O
A
B
方法三：
用尺规作图，作出线段 AB 的垂直平分线.
(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于
AB 的长为半径画弧，交于 点 E，F；
(2) 过点 E，F 作直线.
则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线.
E
F
O
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
归纳
怎样得到线段的垂直平分线？
方法一：用刻度尺测量出线段的中点，再过中点画线段的垂线；
方法二：折纸；
方法三：尺规作图作出线段的垂直平分线．
A
B
O
如何用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线？
答：(1)如图，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于点E，F.
(2)过点E，F作直线．则直线EF就是线段AB的垂直平分线．
为什么？
E
F
典例：如图，已知CA＝CB(A，B，C三点不在同一条直线上)．
(1)请分别作出线段CA，CB的垂直平分线；(用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)
解：(1)作图如图所示；
(2)CO平分∠ACB.
理由：易证 Rt△OCE ≌ Rt△OCF(HL)，
∴∠OCE＝∠OCF，
∴CO平分∠ACB.
(2)设所作两垂直平分线交于点O，连接CO，请问CO平分∠ACB吗？请说明理由．
知识模块二 线段垂直平分线性质与判定的综合应用
B
C
A
P
例 已知：如图，已知△ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.
证明：连接 PA，PB，PC.
B
C
A
P
∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，(已知)
∴ PA = PB，PA = PC.
(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴ PB = PC.
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
(到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
线段垂直平分线的性质与判定解决轴对称图形中相等线段和角．
归纳
典例：如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC＝BD. 求证：点P在线段CD的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB.
∵PC⊥PA，PD⊥PB，
∴∠APC＝∠BPD＝90°.
在Rt△APC和Rt△BPD中，
∵
∴Rt△APC≌Rt△BPD(HL)，
∴PC＝PD，
∴点P在线段CD的垂直平分线上．
仿例1：如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，连接AD.AE＝3 cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差是 ( )
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
C
仿例2：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，PC，若AP＝8，则PC＝________．
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课堂小结
方法与步骤
线段垂直平分线的作法
应用作图
随堂检测
1. 如图，在△ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E，则直线 DE 是（　 　）
A．∠A 的平分线
B．AC 边的中线
C．BC 边的高线
D．AB 边的垂直平分线
D
A
B
C
2. 在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
3.如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
C
B
A
4.如图，跑道 l1、l2、l3 围成一块活动区域，分别交于点 A，B，C.小明和小杰分别在跑道的点 A，D 处，小明沿着射线 AC 的方向晨跑，小杰沿着射线 DC 的方向跑向小明，想与他一起晨跑.如果小明和小杰的速度相同，且同时出发.请用尺规作图法确定他们相遇时的位置 M.
解：如下图示.
在 AC 延长线上截取 CD′ = CD，作 AD′ 的线段垂直平分线.

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