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第15章 轴对称图形与等腰三角形
课题4 线段的垂直平分线的性质定理
沪科版 八年级 数学（上）
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什么是线段的垂直平分线？
答：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线．
用折纸的方法你能得到线段的垂直平分线吗？你还可以用什么方法得到线段的垂直平分线？
答：通过折纸可以作出线段的垂直平分线，在半透明纸上画一条线段AA′，折叠使A与A′重合，得到的折痕l所在的直线就是线段AA′的垂直平分线(如图)；用刻度尺量出线段的长，找出线段的中点，再过中点用三角尺画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线．
探究新知
知识模块一 线段垂直平分线的性质定理
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1, P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？
P1A ____P1B
请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
A
B
l
P1
P2
P3
猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上．求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
P
A
B
l
C
验证结论：
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = BC，PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)．
∴ PA = PB．
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_______.
相等
几何表达：
如果 l⊥AB，AC = BC，
那么对 l 上任意一点 P，
有 PA = PB.
P
A
B
l
C
归纳
线段垂直平分线的性质是什么？
如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，
E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD.
解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；
A
B
C
D
E
F
(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．
证明：(1) ∵ AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点，
∴ DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE.
∴ FC＝AD.
A
B
C
D
E
F
(2) ∵△ADE≌△FCE，
∴ AE＝FE.
又∵ BE⊥AE，
∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线.
∴ AB＝FB＝BC＋FC.
∵ AD＝FC，
∴ AB＝BC＋AD.
A
B
C
D
E
F
典例：如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B＝30°，求∠C的度数．
解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠1＝∠B＝30°.
又∵AE平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠C＝90°.
范例1：点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，则PB＝________．
范例2：如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E两点，若∠BAC＝70°，∠B＝40°，则∠CAE的度数为________．
6
30°
范例3：如图，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝6 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则△ACD的周长为______cm.
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知识模块二 线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆
命
题
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
已知：PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.
∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.
在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.
∴ AC = BC.
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
A
B
P
C
l
应用格式：
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
P
A
B
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判断是什么？
典例：到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的 ( )
A．三条角平分线的交点　　　　
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条垂直平分线的交点
D
仿例1：如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在AC的________________上．
垂直平分线
仿例2：如图，O是△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO＋BO＋CO＝________cm.
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课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
随堂检测
1. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合有　　　　种.
无数
2. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，
则 EA＝EB，PA＝PB；
② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；
③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．
其中正确的有 (填序号).
①②③
3.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC， AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明： ∵ AC = BC，AD = BD，
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又∵AB 与 CD 相交于点 O，
∴ AO = BO.
∴点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.

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