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1.5二次函数的应用同步训练浙教版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（ ）
A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
2．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度可以是；
②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为；
③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要0s；②小球运动中的高度可以是44m；③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面，水面宽为．如果水面宽度为，则水面下降 （ ）
①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图 所示坐标系，则抛物线解析式为 ；
②若水面由l位置下降，水面宽度为；
③若水面由l位置下降，水面宽度增加 ；
以上结论正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
10．已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________．
11．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元．
12．已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______．
三、解答题
13．如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为．
(1)当点在边上时，用含的代数式表示的长；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求与的函数解析式，并写出的取值范围．
14．如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为．
(1)点的坐标是______；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
15．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求出该抛物线的解析式．
(2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式）
16．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
(1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率．
(2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件．
①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？
②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．
17．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）；
(2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处．
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形；
(3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．C
5．D
6．B
7．C
8．A
9．12
10．
11．1575
12．
13．【详解】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴当点F与点D重合时，，
∴；
（2）解：如图所示，当点落在上时，
∵为等边三角形，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵点运动速度为每秒个单位长度，
∴点落在边上时，运动了秒．
故当时，点落在边上．
（3）解：因，故的最大值为，
①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部，
此时为直角三角形，，，
∵，
∴，
∴等边三角形的高为，
∴面积为，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
②当点在上，点不在矩形边上时，
此时，，，
∴，
∵为直角三角形，且，
∴，
∴，，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，
当时，达到临界值，即时，，
，此时．
③当时，点在上，点不在矩形边上时，
此时，，
∴，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
∴与的函数解析式为
14．【详解】（1）解：，，，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：当点和点重合时，则，
依题意得：，，
则，，
，
解得，
即当点与点重合时，；
（3）解：当点与点重合时，依题意得：，
解得，
当点与点重合时，依题意得：，
解得，
当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，
，
分两种情况讨论：
当时，如图，
，
，
；
②当时，如图，交于点，
，
，
，
，
；
综上所述，．
15．【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将，代入，，
得，
解得，
因此，该抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知：，
当水面下降，即时，
，
解得或，
此时水面宽度为，
答：此时水面宽度为．
16．【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为；
（2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：
解得：，
又∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件应降价10元．
②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件
则
，
，
∴当时，w有最大值，最大值为3310，
∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元．
17．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
不能射进球门；
（2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：，
经过点，
，
，
或，
解得：，（不合题意，舍去），
∴向后移动才能让足球经过点正上方处．
18．【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把代入得，
，
解得．
∴．
∵，
∴，
当时，，
∴．
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P，
∴设，，
∴，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：由题意，得，则，
由（2）得，．
∴
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为．

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