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专题：匀变速直线运动规律的应用(一)
第
二
章
学习目标
1.理解平均速度公式，会用平均速度公式解决相关问题(重难点)。
2.会推导Δs=aT2并会用它解决相关问题(难点)。
内容索引
二、匀变速直线运动的位移差公式Δs=aT2
一、匀变速直线运动的平均速度公式
< 一 >
匀变速直线运动的平均速度公式
一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，经过一段时间末速度为vt。
(1)画出物体的v-t图像，求出物体在这段时间内的平均速度。
答案　v-t图像如图所示。
因为v-t图像中图线与t轴所围“面积”表示位移，t时间内物体的位移可表示为s=·t ①
平均速度= ②
由①②两式得=。
(2)在图像中表示出中间时刻的瞬时速度，并求出(结果用v0、vt表示)。
答案　由图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：=。
要点归纳
1.匀变速直线运动的平均速度公式：==。
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的_____
______的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即==，=。
中间
时刻
2.三个平均速度公式的比较
=适用于任何运动；
=及=仅适用于 直线运动。
匀变速
讨论与交流
若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为s，这段位移中间位置的瞬时速度为。试比较与的大小。
答案　方法一　定性分析法
物体做匀加速直线运动，速度先慢后快，如图
前时间内的位移s1<，故<。
方法二　公式法
如图，-=2a
v2-=2a
得=
则->0
故>。
方法三　图像法
由图知>。
(2025·揭阳市高一检测)做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别为2v和10v，设物体在A、B的运动方向都为正方向，经历的时间为t，则下列结论错误的是
A.物体的加速度为
B.在A、B间的平均速度为6v
C.前时间内通过的位移为2vt
D.中间位置的瞬时速度6v
例1
√
依题意，可知a==，故A正确；
在匀变速直线运动中，中间时刻的速度等于全过程中的平均速度，即==6v，故B正确；
由==·=2vt，故C正确；
设A、B两点间的距离为s，则有-=2a-=2a=2v，故D错误。
小张通过无人机来拍摄城镇的风景，t=0时刻，无人机由地面静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1=6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2=15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求：
(1)无人机上升过程中的最大速度；
例2
答案　18 m/s
无人机做匀加速直线运动阶段有
h1=t1，所以无人机上升过程中的最大速度为
vmax=18 m/s
(2)无人机悬停时距地面的高度。
答案　135 m
无人机做匀减速直线运动阶段有
h2=(t2-t1)=×9 m=81 m，
所以无人机悬停时距地面的高度为
h=h1+h2=54 m+81 m=135 m。
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< 二 >
匀变速直线运动的位移差公式Δs=aT2
1.一物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为s1，紧接着第二个T时间内的位移为s2。Δs=s2-s1，试证明：Δs=aT2。
答案　证明：设物体的初速度为v0
自计时起T时间内的位移
s1=v0T+aT2 ①
在第2个T时间内的位移
s2=v0·2T+a(2T)2-s1=v0T+aT2 ②
由①②两式得连续相等时间内的位移差为
Δs=s2-s1=v0T+aT2-v0T-aT2=aT2，即Δs=aT2。
2.对于加速度为a的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间T内通过的位移分别为s1、s2、s3、s4，…，则s4-s1=　　　　。
答案　方法一　如图所示
设初速度为v0，第四段位移的初速度为v3，则
v3=v0+3aT
s1=v0T+aT2
s4=v3T+aT2
s4-s1=(v3-v0)T=3aT2。
方法二　由s2-s1=aT2
s3-s2=aT2
s4-s3=aT2
得s4-s1=3aT2。
要点归纳
1.内容：匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差______，即s2-s1=s3-s2=…=sn-sn-1=aT2。
2.推论：对于不连续的相等时间内的位移差，sm-sn= ，其中m>n。
3.应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δs=s2-s1=s3-s2=…=sn-sn-1=aT2总成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度
利用Δs=aT2，可求得a=。
恒定
(m-n)aT2
如图所示，一辆汽车在平直公路上做匀加速直线运动，从树A开始，在相等的时间内依次经过B、C、D、E四棵树，已知树A、B间距为x1，树D、E间距为x2，则树B、D间距为
例3
A.x1+x2 B.2x1+x2
C.x1+2x2 D.2(x1+x2)
√
设汽车做加速度为a的匀加速直线运动，在连续相等时间T内位移之差相等且为一常数，故结合题意有xBC-x1=x2-xCD=aT2，整理得xBC+xCD=
x2+x1，故选A。
(2025·江门市高一期中)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得sAB=15 cm，sBC=20 cm。求：
(1)小球的加速度大小；
例4
答案　5 m/s2
由推论Δs=aT2可知，小球加速度为
a=== m/s2=5 m/s2。
(2)拍摄时B点处小球的速度大小；
答案　1.75 m/s
由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点处小球的速度等于AC段的平均速度，即
vB== m/s=1.75 m/s。
(3)拍摄时C、D间的距离sCD；
答案　0.25 m
由于连续相等时间内位移差恒定，
所以sCD-sBC=sBC-sAB
得sCD=2sBC-sAB
=2×20×10-2 m-15×10-2 m=0.25 m。
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
答案　2个
设A点处小球的速度为vA，
由于vA=vB-aT=1.25 m/s，
所以A点处小球的运动时间为tA==0.25 s，
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
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