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动力学中的临界问题
专题强化10
第
四
章
1.掌握动力学临界、极值问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件(重难点)。
2.进一步熟练应用牛顿第二定律解决实际问题(重点)。
学习目标
1.临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。
2.关键词语：在动力学问题中出现的“刚好”“恰好”“最大”“最小”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
内容索引
一、接触与脱离的临界问题
二、相对静止(或相对滑动)的临界问题
三、绳子断裂或松弛的临界问题
< 一 >
接触与脱离的临界问题
(2025·汕头市高一期末改编)如图，A、B两个物体相互接触，但并不粘连，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两物体的质量分别为mA＝4 kg，mB＝6 kg。从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB随时间的变化规律为FA＝(8－2t) N，FB＝(2＋2t) N。求：
(1)经过多长时间两物体分离；
例1
答案　2 s　
设两物体在t1时刻恰好分离(即相互作用的弹力为0)，此时二者的加速度仍相同，由牛顿第二定律得，又FA＝8－2t1 (N)，FB＝2＋2t1 (N)解得t1＝2 s。
(2)物体B在1 s时和5 s时运动的加速度大小。
答案　1 m/s2　2 m/s2
在t＝1 s内，两物体以共同的加速度运动。对A、B系统，由牛顿第二定律有FA1＋FB1＝(mA＋mB)a1，FA1＝6 N，FB1＝4 N
代入数据解得a1＝1 m/s2
5 s时，A、B两物体已分离，对B物体，由牛顿第二定律有FB＝mBa2，FB2＝12 N
代入数据解得a2＝2 m/s2。
如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g，不计空气阻力)。
(1)当滑块A以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？
例2
答案　g
由牛顿第三定律知，小球对滑块的压力刚好为零时，滑块对小球的支持力也为零。此时滑块和小球的加速度仍相同，当FN＝0时，小球受重力
和拉力作用，如图甲所示，F合＝，
由牛顿第二定律得F合＝ma，则此时滑块的加速度a＝＝g。
(2)当滑块以2g的加速度向左运动时，细线上的拉力为多大？
答案　mg
当滑块加速度为2g时，小球“飘”离滑块，只受细线的拉力和小球的重力的作用，如图乙所示，设细线与水平方向夹角为α，此时对小球受力分析，由牛顿第二定律得T'cos α＝ma'，T'sin α＝mg，解得T'＝mg。
接触与脱离的临界条件：
(1)两物体加速度相同；
(2)物体间相互作用力FN＝0。
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< 二 >
相对静止(或相对滑动)的临界问题
如图，物块A放在物块B上，A、B质量分别为m、M，A、B间的动摩擦因数为μ，水平地面光滑，现用水平向右的力F拉B。
(1)若A、B没有发生相对滑动，求A、B的加速度大小。
答案　对A、B整体：F＝(M＋m)a，可得a＝。
(2)A、B未发生相对滑动，随着F的增大，A所受的摩擦力如何变化？
答案　对物块A：f＝ma
f＝F，随着F增大，f增大。
(3)A、B发生相对滑动的临界条件是什么？
答案　A所受摩擦力达到最大静摩擦力。
(2025·广东省大湾区高一期末改编)如图所示，质量为M的长木板位于光滑水平面上，质量为m的物块静止在长木板上，两者之间的动摩擦因数为μ，现对物块施加水平向右的恒力F，若恒力F超过某一临界数值，长木板与物块将发生相对滑动，重力加速度大小为g，物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力，则恒力F的临界值为
A.μmg B.μMg
C.μmg(1＋) D.μmg(1＋)
例3
√
物块与长木板恰好不发生相对滑动时，对整体有F＝(M＋m)a，对长木板有μmg＝Ma
解得F＝μmg(1＋)，C正确。
相对静止(或相对滑动)的临界问题分析步骤
1.假设两物体恰不发生相对滑动，利用整体法，根据牛顿第二定律分析整体加速度的大小a1。
2.利用隔离法，由牛顿第二定律分析临界加速度的大小a2。
3.由a1＝a2联立方程求解。
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针对训练　(多选)(2024·深圳市高一期末)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与水平地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度g取10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是
A.50 N B.100 N
C.125 N D.150 N
√
√
若B不下滑，对B有μ1FN≥m2g，由牛顿第二定律得FN＝m2a；对A、B整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，则F≥(m1＋m2)g＝125 N，选项C、D正确。
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< 三 >
绳子断裂或松弛的临界问题
绳子所承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳子上的张力为零。
一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图所示。已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°，当车以加速度a＝g(g为重力加速度)向左做匀加速直线运动时，求1、2两绳拉力的大小。
例4
答案　mg　0
设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左且大小为a0，由牛顿第二定律得F1cos 45°＝mg，F1sin 45°＝ma0，可得a0＝g。
因a＝g有F1'cos θ＝mg，F1'sin θ＝ma，得F1'＝mg。
1.分析运动，找出临界状态，并求出临界加速度是解题的关键。
2.分析运动时
(1)当a＝0时，1绳竖直，2绳拉力为0。
(2)当a逐渐变大，1绳倾斜，2绳逐渐被拉直，当2绳刚被拉直(T＝0)时，为B的临界状态，此时临界加速度为a0。
(3)当a>a0时，1、2绳上均有拉力，B球位置不变，当a变大时，绳上拉力均变大。
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