资源简介

1.1探索勾股定理（1）-北师大版数学八上同步分层训练 ）
一、基础训练
1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A'B'的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　）
A．9 B．8 C．2 D．45
3．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
4．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　）
A．5 B．10 C． D．
5．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．13
6．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（　　）
A．17 B．18.5 C．20 D．25
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D．若BC＝2AC＝8，则CD的长为　 　
8．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， 若 BC=3， AC=4， 则 AB的长是　 　.
9．如图，在△ABC中， ∠C=90°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M和点 N，再分别以点 M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P.连接 AP并延长交 BC于点 D，若 AD=5，AC=4，则点 D到直线 AB的距离是　 　.
10．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上).
（1） 线段AB 的长度为　 　；
（2）请使用无刻度直尺在图中作△ABC的角平分线BD.
二、巩固提升
11．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
12．如图是一个弩箭模型，箭MN 经过 BC的中点 D．已知AB=AC=17cm， AN=14cm， BC=30cm， 则DN的长为(　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
13． 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则　 　．
15．如图，在中，，，于点，且，则的长为__________．
16．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为　 　．
17． 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=12， BBC=16，则AE的长为　 　.
18．如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，AP 为伞柄，伞圈D 能沿着伞柄AP 滑动，伞骨AB=AC，E，F分别是伞骨上两个定点，且满足
（1）求证：
（2）当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上，已知AB=55cm，AD=33cm，两个身体宽度40 cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10 cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到
19．如图，在中，，，，平分交于点，于点．
（1）求证：；
（2）求的长．
三、能力应用
20．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E。
（1）求证：△ACE是等腰三角形。
（2）若AC=13cm，CE=24cm，求△ACE的面积。
21．在四边形中，，求四边形的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴，
∵ △ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴A'B'=AB=10.
故答案为：C
【分析】根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应边相等.所以A'B'=AB，利用勾股定理求出AB即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵ 正方形A，B的面积为2，4，
∴没标字母的正方形的面积为：6，
∵ C的面积为：3，
∴ 正方形D的面积为：3+6=9
故答案为：A
【分析】根据勾股定理，首先得出没标字母的正方形的面积为：6，进而再根据勾股定理即可得出正方形D的面积为：3+6=9。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB为斜边，
根据勾股定理：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股定理的应用.根据题干信息判断AB为斜边，利用勾股定理直接计算即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为： ＝10，
三角形的面积＝ ×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则 x 10＝24，
解得x＝4.8.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：斜边的长=，
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可解答.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD 平分∠BAC，且 DP 垂直于 AB。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB；又因为∠C = ∠APD = 90°，AD 为公共边，所以
△ACD ≌ △APD（AAS）。
由全等三角形性质可得：AP = AC = 5，CD = PD。因此 BP = AB - AP = 13 - 5 = 8。
△BPD 的周长为 PD + DB + PB，将 PD 替换为 CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。
代入 BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。
故答案为：C。
【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。
7．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD
由作图可得，直线MN垂直平分线段AB
∴AD=BD
∵BC=2AC=8
∴AC=4
设CD=x，则BD=AD=8-x
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=CD2+AC2
即(8-x)2=x2+42
解得：x=3
∴CD的长为3
故答案为：3
【分析】连接AD，由作图可得，直线MN垂直平分线段AB，则AD=BD，设CD=x，则BD=AD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， 若 BC=3， AC=4，
∴AB==5，
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理直接求出AB的长即可.
9．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，
∴CD=，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴点D到直线AB的距离=CD=3，
故答案为：3.
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案.
10．【答案】（1）5
（2）解：如图，BD即为所作；
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，
即线段的长度为5，
故答案为：5．
【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）取格点D，连接BD，根据等腰三角形的三线合一可知BD即为所作．
11．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为10，
∴大正方形的边长为，
∵直角三角形的两条直角边长分别为，
∴，
∵，即，
∴，
因此一个直角三角形的面积=，四个直角三角形的面积=，
∴小正方形的面积=大正方形面积-四个直角三角形面积=10-6=4，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，利用勾股定理得出，然后利用完全平方公式计算得出，依据直角三角形面积计算公式得出四个直角三角形的面积为6，最后用“大正方形面积-四个直角三角形面积”代入计算即可求出小正方形的面积。
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点
∴BD=CD=BC=15cm
∵AB=AC=17cm，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB=17cm，BD=15cm，
∴AD=
∵AN=14cm，
∴DN=AN-AD=14-8=6(cm)
故答案为：D
【分析】根据线段中点的定义可求BD的长度，由等腰三角形的性质以及勾股定理求出AD的长度，进而可求DN.
13．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=，设B到AC的距离为d，
，
即有，得d=.
故答案：B.
【分析】由勾股定理知AC的长，同时求出△ABC的面积，由等面积法可得，由此可得点B到AC的距离.
14．【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角中，，
又∵，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的三边关系，从而得到，即可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在中，，，
由勾股定理可知，
，
∴，
同理，在中，由勾股定理可知，
，
，
代入得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】在Rt△BCD中，利用勾股定理算出CD的长，由线段和差及等量代换得AD=AC-CD=AB-CD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AC的长.
16．【答案】9
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设的三边为，，，
由题意得，，；由勾股定理，
已知，即，整理得，
解得，
阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度，
所以阴影面积为．
故答案为：．
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平方。设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此，，。由勾股定理可知，结合已知条件，将面积替换为边长的平方，得到，再代入勾股定理的关系式，化简可得，求出。观察图形可知阴影部分是直角三角形，其面积为，代入的值即可求出阴影部分面积。
17．【答案】10
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°
∴△ABC为直角三角形
∴
∵ AD=BD
∴△ADB是等腰三角形
∵ DE平分∠ADB
∴点E平分AB
∴
故答案为：10.
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用等腰三角形三线合一，求出AE.
18．【答案】（1）证明：
∴AE=AF，
在△ADE 和△ADF 中，
∴ △ADE≌△ADF (SSS).
（2）解：如图，连接，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
他们会被垂直滴下的雨水淋到．
答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据三等分点可得，然后根据SSS证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根根据勾股定理求出的长度，然后利用三线合一求出BC长判断解答即可．
19．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，再根据全等三角形性质可得，，根据边之间的关系可得BE，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠AEC=∠DCE
∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∴∠ACE=∠AEC
∴ △ACE是等腰三角形
（2）解：过点A作AG⊥CE，垂足为G
∵AC=AE
∴
∴
∴
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠AEC=∠DCE，根据角平分线定义可得∠ACE=∠DCE，则∠ACE=∠AEC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据等腰三角形三线合一性质可得CG，再根据勾股定理可得AG，再根据三角形面积即可求出答案.
21．【答案】解：连接，如图，
∵，，，
∴由勾股定理，得，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】连接，先由勾股定理得，根据勾股定理逆定理可得，则有为直角三角形，然后通过，再代入即可求解．
1 / 11.1探索勾股定理（1）-北师大版数学八上同步分层训练 ）
一、基础训练
1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A'B'的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴，
∵ △ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴A'B'=AB=10.
故答案为：C
【分析】根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应边相等.所以A'B'=AB，利用勾股定理求出AB即可.
2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　）
A．9 B．8 C．2 D．45
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵ 正方形A，B的面积为2，4，
∴没标字母的正方形的面积为：6，
∵ C的面积为：3，
∴ 正方形D的面积为：3+6=9
故答案为：A
【分析】根据勾股定理，首先得出没标字母的正方形的面积为：6，进而再根据勾股定理即可得出正方形D的面积为：3+6=9。
3．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB为斜边，
根据勾股定理：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股定理的应用.根据题干信息判断AB为斜边，利用勾股定理直接计算即可.
4．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　）
A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为： ＝10，
三角形的面积＝ ×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则 x 10＝24，
解得x＝4.8.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可.
5．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：斜边的长=，
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可解答.
6．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（　　）
A．17 B．18.5 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD 平分∠BAC，且 DP 垂直于 AB。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB；又因为∠C = ∠APD = 90°，AD 为公共边，所以
△ACD ≌ △APD（AAS）。
由全等三角形性质可得：AP = AC = 5，CD = PD。因此 BP = AB - AP = 13 - 5 = 8。
△BPD 的周长为 PD + DB + PB，将 PD 替换为 CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。
代入 BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。
故答案为：C。
【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D．若BC＝2AC＝8，则CD的长为　 　
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD
由作图可得，直线MN垂直平分线段AB
∴AD=BD
∵BC=2AC=8
∴AC=4
设CD=x，则BD=AD=8-x
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=CD2+AC2
即(8-x)2=x2+42
解得：x=3
∴CD的长为3
故答案为：3
【分析】连接AD，由作图可得，直线MN垂直平分线段AB，则AD=BD，设CD=x，则BD=AD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， 若 BC=3， AC=4， 则 AB的长是　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， 若 BC=3， AC=4，
∴AB==5，
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理直接求出AB的长即可.
9．如图，在△ABC中， ∠C=90°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M和点 N，再分别以点 M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P.连接 AP并延长交 BC于点 D，若 AD=5，AC=4，则点 D到直线 AB的距离是　 　.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，
∴CD=，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴点D到直线AB的距离=CD=3，
故答案为：3.
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案.
10．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上).
（1） 线段AB 的长度为　 　；
（2）请使用无刻度直尺在图中作△ABC的角平分线BD.
【答案】（1）5
（2）解：如图，BD即为所作；
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，
即线段的长度为5，
故答案为：5．
【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）取格点D，连接BD，根据等腰三角形的三线合一可知BD即为所作．
二、巩固提升
11．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为10，
∴大正方形的边长为，
∵直角三角形的两条直角边长分别为，
∴，
∵，即，
∴，
因此一个直角三角形的面积=，四个直角三角形的面积=，
∴小正方形的面积=大正方形面积-四个直角三角形面积=10-6=4，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，利用勾股定理得出，然后利用完全平方公式计算得出，依据直角三角形面积计算公式得出四个直角三角形的面积为6，最后用“大正方形面积-四个直角三角形面积”代入计算即可求出小正方形的面积。
12．如图是一个弩箭模型，箭MN 经过 BC的中点 D．已知AB=AC=17cm， AN=14cm， BC=30cm， 则DN的长为(　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点
∴BD=CD=BC=15cm
∵AB=AC=17cm，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB=17cm，BD=15cm，
∴AD=
∵AN=14cm，
∴DN=AN-AD=14-8=6(cm)
故答案为：D
【分析】根据线段中点的定义可求BD的长度，由等腰三角形的性质以及勾股定理求出AD的长度，进而可求DN.
13． 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=，设B到AC的距离为d，
，
即有，得d=.
故答案：B.
【分析】由勾股定理知AC的长，同时求出△ABC的面积，由等面积法可得，由此可得点B到AC的距离.
14．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则　 　．
【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角中，，
又∵，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的三边关系，从而得到，即可求解．
15．如图，在中，，，于点，且，则的长为__________．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在中，，，
由勾股定理可知，
，
∴，
同理，在中，由勾股定理可知，
，
，
代入得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】在Rt△BCD中，利用勾股定理算出CD的长，由线段和差及等量代换得AD=AC-CD=AB-CD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AC的长.
16．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】9
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设的三边为，，，
由题意得，，；由勾股定理，
已知，即，整理得，
解得，
阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度，
所以阴影面积为．
故答案为：．
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平方。设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此，，。由勾股定理可知，结合已知条件，将面积替换为边长的平方，得到，再代入勾股定理的关系式，化简可得，求出。观察图形可知阴影部分是直角三角形，其面积为，代入的值即可求出阴影部分面积。
17． 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=12， BBC=16，则AE的长为　 　.
【答案】10
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°
∴△ABC为直角三角形
∴
∵ AD=BD
∴△ADB是等腰三角形
∵ DE平分∠ADB
∴点E平分AB
∴
故答案为：10.
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用等腰三角形三线合一，求出AE.
18．如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，AP 为伞柄，伞圈D 能沿着伞柄AP 滑动，伞骨AB=AC，E，F分别是伞骨上两个定点，且满足
（1）求证：
（2）当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上，已知AB=55cm，AD=33cm，两个身体宽度40 cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10 cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到
【答案】（1）证明：
∴AE=AF，
在△ADE 和△ADF 中，
∴ △ADE≌△ADF (SSS).
（2）解：如图，连接，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
他们会被垂直滴下的雨水淋到．
答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据三等分点可得，然后根据SSS证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根根据勾股定理求出的长度，然后利用三线合一求出BC长判断解答即可．
19．如图，在中，，，，平分交于点，于点．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，再根据全等三角形性质可得，，根据边之间的关系可得BE，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、能力应用
20．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E。
（1）求证：△ACE是等腰三角形。
（2）若AC=13cm，CE=24cm，求△ACE的面积。
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠AEC=∠DCE
∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∴∠ACE=∠AEC
∴ △ACE是等腰三角形
（2）解：过点A作AG⊥CE，垂足为G
∵AC=AE
∴
∴
∴
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠AEC=∠DCE，根据角平分线定义可得∠ACE=∠DCE，则∠ACE=∠AEC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据等腰三角形三线合一性质可得CG，再根据勾股定理可得AG，再根据三角形面积即可求出答案.
21．在四边形中，，求四边形的面积.
【答案】解：连接，如图，
∵，，，
∴由勾股定理，得，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】连接，先由勾股定理得，根据勾股定理逆定理可得，则有为直角三角形，然后通过，再代入即可求解．
1 / 1

展开更多......

收起↑