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1.1探索勾股定理（2）-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（　　）
A．5 B．12 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵如图，中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
2．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C． D．25
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
3．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
4．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由图和勾股定理，得：，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积是；
故选B．
【分析】根据勾股定理可得b=8，求出小正方形的边长，再根据正方形面积即可求出答案.
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（　　）
A．10 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意，得：中间小正方形的边长，
∴小正方形的面积为：；
故答案为：C．
【分析】由图可得小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行根据正方形面积求解即可．
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为1，2，5，10.则正方形D的面积是 　 　.
【答案】2
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：设中间两个正方形的面积分别为x、y，正方形D的面积为z，
则由勾股定理得x=1+2=3， y=5+z，
∴3+y=3+5+z=10，
解得：z=2
即正方形D的面积为2，
故答案为：2.
【分析】分别设中间两个正方形和正方形D的面积为x，y，z，由勾股定理即可得到结论.
7． 如图， △ABC中，∠ACB=90°， 分别以AB， BC， AC为边长向外作正方形， 三个正方形面积分别为S1， S2， S3， 若S1=20， 则S1+S2+S3=　 　.
【答案】40
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：分别以，，为边长向外作正方形，
，，．
，
．
，
．
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理计算即可求出．
8．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成，可得这四个直角三角形都全等。然后根据全等三角形对应边相等的性质得出AC=BD=7，最后根据线段的和差关系（CD=BD-BC），代入数值计算即可．
9．如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系
【答案】解：∵由勾股定理得：
同理
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【分析】由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案.
二、巩固提升
10．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（　　）
A．9 B．12 C．14 D．35
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由正方形的性质得： ∠EFG =∠EGH =∠GMH=90°， EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF =90°， ∠EGF+∠MGH= 90°，
∴∠FEG=∠MGH，
在△EFG和△GMH中，
∴△EFG≌△GMH(AAS)，
∴FG= MH ， GM = EF ，
∴正方形B的面积为
故答案为：B.
【分析】证△EFG≌ΔGMH， 推出]FG=MH， GM = EF ， 则再证 代入求出即可.
11．第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积，
故选：D．
【分析】根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解.
12．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
，
①若，则符合要求的有：共2个点；
②若，则符合要求的有：共3个点；
这样的C点有5个．
故选：C．
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案．
13．如图所示，意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
故①，②，③，④正确，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理的证明思路，核心是利用拼剪前后面积不变的原理，结合正方形和直角三角形的面积公式进行推导。首先计算，图1空白部分由两个边长分别为、的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积分别为和，两个直角三角形面积和为，因此；再计算，图2空白部分由一个边长为的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积为，两个直角三角形面积和仍为，因此；由于拼剪过程中只是改变了图形的形状，总面积保持不变，所以空白部分面积也相等，即；结合和的表达式，可推出，因此四个结论均正确。
14．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足 则大正方形面积为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：据题意知，小正方形的边长为（m-n），
∴（m-n）2=3，
又 ，
∴
∴①+②，得2m2+2n2=18，
∴m2+n2=9，
即 大正方形面积为 9.
故答案为：B.
【分析】根据题意得（m-n）2=3， ，从而得m2+n2=9.
15．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设，
则，解得；
，解得；
；
．
∵，
∴，
即，
由，得，化简得；
将，，代入；
即，解得，则；
∴；
故答案为．
【分析】本题考查勾股定理和半圆面积公式，由半圆面积公式表示出各边的平方，再利用“直角三角形中两直角边平方和=斜边平方，结合S4与S3关系求解.
16．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是　 　．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2）
【答案】(图1) ；(图2)
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：如图1，根据矩形的面积公式得；
故答案为：(图1)；
如图2，，整理得：
故答案为：(图2)．
【分析】图1中：根据大正方形面积可得(a+b)2，大正方形面积也可表示为：4个矩形面积+中间小正方形面积，则，即；
图2中，图形面积可表示为梯形面积，则为，也可表示为：三个三角形面积之和，则为，即.
17．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】设这八个全等的直角三角形的面积都是，根据图形求出，进一步求出的值，即可求解.
18．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵为直角三角形，且，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AB=12.
故答案为：12．
【分析】根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理可推出：，继而可得，进一步可求AB2，即可求出AB的值．
19．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
（1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
（2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
（3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
【分析】（1）用两种不同方式表示同一阴影部分的面积，通过建立等式化简推导勾股定理；
（2）用整体与部分两种方法表示大正方形的面积，通过等式化简证明勾股定理；
（3）先利用勾股定理求出斜边长度，再用正方形面积减去两个直角三角形的面积得到阴影部分面积。
（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
三、能力应用
20．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形的面积为，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∵四边形EFGH是正方形，
，
，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
，
，
，，
，
，
则的值是；
故与的面积差为；
故答案为：.
【分析】根据勾股定理及正方形ABC的面积为28建立方程得出2x2-14x=-21；由正方形对边平行得AH∥CF，由二直线平行，内错角相等得∠EAP=∠GCM，由全等三角形的对应边相等得AE=CG，从而由“ASA”可证△AEP≌△CGM，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，由S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEB，结合整体代入可得结论．
21．
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣
素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形.因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1.画出不同类型三角形形成的树形图(以三角形的三边为边，分别向外作正方形)；2.所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边的长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究 .
素材三
解决问题
任务一 小明画出了锐角三角形ABC，AB=AC，BC=2cm，则
任务二 小金画出了直角三角形DEF，∠DFE=90°，EF=2cm，计算 的值，并写出过程
任务三 小山画出了钝角三角形GHI，∠GIH=120°，HI=2cm，则
项目总结
综合以上三位同学所画的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想：周长一定的情况下，由 三角形形成的树形图形总面积( )最大(填“锐角”“直角”或“钝角”).这个猜想，聪明的你会证明吗
【答案】解：任务一：
任务二：设 DF=x cm.因为∠DFE=90°，EF=2cm，△DEF的周长为8cm，所以DE=8-2-x=(6-x) cm，由勾股定理得 即 解得 即 所以 所以 所以
任务三：
项目总结：钝角.
证明如下：在类型①中， 在类型②中， 在类型③中， 因为 所以周长一定的情况下，由钝角三角形形成的树形图形总面积 最大
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：任务一：因为AB=AC，BC=2cm，AB+AC+BC=8cm，所以AB=AC=3cm，所以. 所以
故答案为： .
任务三：
在△GHI中， ∠GIH = 120°， 所以∠GIT=180°-∠GIH = 60°. 因为 GT ⊥HI，所以∠IGT= 30°. 设 IT = a cm， 则 GI =2a cm，由勾股定 理得 因为 HI = 2 cm，△GHI 的周长为8cm，所以 HG=8-2-2a =(6-2a) cm.在Rt△GHT 中，HG=(6-2a) cm，GT= a2 cm，HT=(2+a) cm，由勾股定理得 即 解得 所以 所以 所以
故答案为：
项目总结：猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的树形图形总面积( 最大.
故答案为：钝角.
【分析】任务一， 先根据AB=AC， BC=2cm， AB+AC+BC=8cm， 求出AB=AC=3cm， 进而可求出 然后可求出 的值；
任务二， 设DF = xcm， 先根据∠DFE=90°， EF =2cm， △DEF的周长为8cm， 得DE =(6-x)cm，再由勾股定理求出 进而得 由此可求出 然后再求出 即可；
任务三，过点G作GT⊥HI交HI的延长线于T，先在Rt△GIT中求出∠IGT = 30°， 设IT = acm，则再根据HI=2cm， △GHI的周长为8cm， 得HG=(6-2a)cm，然后在Rt△GHT中，由勾股定理求出 ，进而得 由此可求出 ， 据此可求出 的值；
项目总结：在类型①中： ；在类型②中： 在类型③中： 然后由22< 可得出猜想：周长一定的情况下，
由钝角三角形形成的(S3+S2+S1)总面积最大.
22．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
(3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值．
【答案】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，即千米，
(千米)，
答：新路比原路少千米；
（3）
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
【分析】（1）根据梯形的面积即可求出答案.
（2）设千米，根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理建立方程，解方程可得CA，再作差即可求出答案.
（3）作，垂足为，设，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理建立方程，解方程可得y，即AH=6，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 11.1探索勾股定理（2）-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（　　）
A．5 B．12 C．15 D．16
2．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C． D．25
3．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（　　）
A． B． C． D．
4．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（　　）
A．10 B．6 C．4 D．2
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为1，2，5，10.则正方形D的面积是 　 　.
7． 如图， △ABC中，∠ACB=90°， 分别以AB， BC， AC为边长向外作正方形， 三个正方形面积分别为S1， S2， S3， 若S1=20， 则S1+S2+S3=　 　.
8．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则　 　．
9．如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系
二、巩固提升
10．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（　　）
A．9 B．12 C．14 D．35
11．第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
12．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
13．如图所示，意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足 则大正方形面积为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
15．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是　 　．
16．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是　 　．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2）
17．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为　 　．
18．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则　 　．
19．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
（1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
（2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
（3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
三、能力应用
20．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是　 　．
21．
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣
素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形.因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1.画出不同类型三角形形成的树形图(以三角形的三边为边，分别向外作正方形)；2.所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边的长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究 .
素材三
解决问题
任务一 小明画出了锐角三角形ABC，AB=AC，BC=2cm，则
任务二 小金画出了直角三角形DEF，∠DFE=90°，EF=2cm，计算 的值，并写出过程
任务三 小山画出了钝角三角形GHI，∠GIH=120°，HI=2cm，则
项目总结
综合以上三位同学所画的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想：周长一定的情况下，由 三角形形成的树形图形总面积( )最大(填“锐角”“直角”或“钝角”).这个猜想，聪明的你会证明吗
22．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
(3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵如图，中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由图和勾股定理，得：，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积是；
故选B．
【分析】根据勾股定理可得b=8，求出小正方形的边长，再根据正方形面积即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意，得：中间小正方形的边长，
∴小正方形的面积为：；
故答案为：C．
【分析】由图可得小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行根据正方形面积求解即可．
6．【答案】2
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：设中间两个正方形的面积分别为x、y，正方形D的面积为z，
则由勾股定理得x=1+2=3， y=5+z，
∴3+y=3+5+z=10，
解得：z=2
即正方形D的面积为2，
故答案为：2.
【分析】分别设中间两个正方形和正方形D的面积为x，y，z，由勾股定理即可得到结论.
7．【答案】40
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：分别以，，为边长向外作正方形，
，，．
，
．
，
．
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理计算即可求出．
8．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成，可得这四个直角三角形都全等。然后根据全等三角形对应边相等的性质得出AC=BD=7，最后根据线段的和差关系（CD=BD-BC），代入数值计算即可．
9．【答案】解：∵由勾股定理得：
同理
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【分析】由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由正方形的性质得： ∠EFG =∠EGH =∠GMH=90°， EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF =90°， ∠EGF+∠MGH= 90°，
∴∠FEG=∠MGH，
在△EFG和△GMH中，
∴△EFG≌△GMH(AAS)，
∴FG= MH ， GM = EF ，
∴正方形B的面积为
故答案为：B.
【分析】证△EFG≌ΔGMH， 推出]FG=MH， GM = EF ， 则再证 代入求出即可.
11．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积，
故选：D．
【分析】根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解.
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
，
①若，则符合要求的有：共2个点；
②若，则符合要求的有：共3个点；
这样的C点有5个．
故选：C．
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案．
13．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
故①，②，③，④正确，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理的证明思路，核心是利用拼剪前后面积不变的原理，结合正方形和直角三角形的面积公式进行推导。首先计算，图1空白部分由两个边长分别为、的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积分别为和，两个直角三角形面积和为，因此；再计算，图2空白部分由一个边长为的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积为，两个直角三角形面积和仍为，因此；由于拼剪过程中只是改变了图形的形状，总面积保持不变，所以空白部分面积也相等，即；结合和的表达式，可推出，因此四个结论均正确。
14．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：据题意知，小正方形的边长为（m-n），
∴（m-n）2=3，
又 ，
∴
∴①+②，得2m2+2n2=18，
∴m2+n2=9，
即 大正方形面积为 9.
故答案为：B.
【分析】根据题意得（m-n）2=3， ，从而得m2+n2=9.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设，
则，解得；
，解得；
；
．
∵，
∴，
即，
由，得，化简得；
将，，代入；
即，解得，则；
∴；
故答案为．
【分析】本题考查勾股定理和半圆面积公式，由半圆面积公式表示出各边的平方，再利用“直角三角形中两直角边平方和=斜边平方，结合S4与S3关系求解.
16．【答案】(图1) ；(图2)
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：如图1，根据矩形的面积公式得；
故答案为：(图1)；
如图2，，整理得：
故答案为：(图2)．
【分析】图1中：根据大正方形面积可得(a+b)2，大正方形面积也可表示为：4个矩形面积+中间小正方形面积，则，即；
图2中，图形面积可表示为梯形面积，则为，也可表示为：三个三角形面积之和，则为，即.
17．【答案】12
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】设这八个全等的直角三角形的面积都是，根据图形求出，进一步求出的值，即可求解.
18．【答案】12
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵为直角三角形，且，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AB=12.
故答案为：12．
【分析】根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理可推出：，继而可得，进一步可求AB2，即可求出AB的值．
19．【答案】（1）；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
【分析】（1）用两种不同方式表示同一阴影部分的面积，通过建立等式化简推导勾股定理；
（2）用整体与部分两种方法表示大正方形的面积，通过等式化简证明勾股定理；
（3）先利用勾股定理求出斜边长度，再用正方形面积减去两个直角三角形的面积得到阴影部分面积。
（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
20．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形的面积为，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∵四边形EFGH是正方形，
，
，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
，
，
，，
，
，
则的值是；
故与的面积差为；
故答案为：.
【分析】根据勾股定理及正方形ABC的面积为28建立方程得出2x2-14x=-21；由正方形对边平行得AH∥CF，由二直线平行，内错角相等得∠EAP=∠GCM，由全等三角形的对应边相等得AE=CG，从而由“ASA”可证△AEP≌△CGM，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，由S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEB，结合整体代入可得结论．
21．【答案】解：任务一：
任务二：设 DF=x cm.因为∠DFE=90°，EF=2cm，△DEF的周长为8cm，所以DE=8-2-x=(6-x) cm，由勾股定理得 即 解得 即 所以 所以 所以
任务三：
项目总结：钝角.
证明如下：在类型①中， 在类型②中， 在类型③中， 因为 所以周长一定的情况下，由钝角三角形形成的树形图形总面积 最大
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：任务一：因为AB=AC，BC=2cm，AB+AC+BC=8cm，所以AB=AC=3cm，所以. 所以
故答案为： .
任务三：
在△GHI中， ∠GIH = 120°， 所以∠GIT=180°-∠GIH = 60°. 因为 GT ⊥HI，所以∠IGT= 30°. 设 IT = a cm， 则 GI =2a cm，由勾股定 理得 因为 HI = 2 cm，△GHI 的周长为8cm，所以 HG=8-2-2a =(6-2a) cm.在Rt△GHT 中，HG=(6-2a) cm，GT= a2 cm，HT=(2+a) cm，由勾股定理得 即 解得 所以 所以 所以
故答案为：
项目总结：猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的树形图形总面积( 最大.
故答案为：钝角.
【分析】任务一， 先根据AB=AC， BC=2cm， AB+AC+BC=8cm， 求出AB=AC=3cm， 进而可求出 然后可求出 的值；
任务二， 设DF = xcm， 先根据∠DFE=90°， EF =2cm， △DEF的周长为8cm， 得DE =(6-x)cm，再由勾股定理求出 进而得 由此可求出 然后再求出 即可；
任务三，过点G作GT⊥HI交HI的延长线于T，先在Rt△GIT中求出∠IGT = 30°， 设IT = acm，则再根据HI=2cm， △GHI的周长为8cm， 得HG=(6-2a)cm，然后在Rt△GHT中，由勾股定理求出 ，进而得 由此可求出 ， 据此可求出 的值；
项目总结：在类型①中： ；在类型②中： 在类型③中： 然后由22< 可得出猜想：周长一定的情况下，
由钝角三角形形成的(S3+S2+S1)总面积最大.
22．【答案】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，即千米，
(千米)，
答：新路比原路少千米；
（3）
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
【分析】（1）根据梯形的面积即可求出答案.
（2）设千米，根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理建立方程，解方程可得CA，再作差即可求出答案.
（3）作，垂足为，设，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理建立方程，解方程可得y，即AH=6，再根据勾股定理即可求出答案.
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