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1.2一定是直角三角形吗-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（　　)
A．1， 2， 3 B．2， 3， 4
C．5， 12， 13 D．4， 5， 6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
B：，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意；
C：，，，这三条线段能组成直角三角形，故符合题意；
D：，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一验证选项即可．
2．已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断△ABC是直角三角形（　　）
A．∠A=∠B+∠C B．
C．a： b： c=3： 4： 5 D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：对A选项， ∠A=∠B+∠C ，而A+B+C=180°，得∠A=90°，△ABC为直角三角形，故A不符合题意；
对B选项，得c2=a2+b2，故△ABC为直角三角形，故B不符合题意；
对C选项， a： b： c=3： 4： 5 ，a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形，故C不符合题意；
对D选项，，a2+b2=c2，故不能判断△ABC为直角三角形，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】分别根据各选项的条件，结合三角形内角和定理和勾股定理逆定理，即可判断.
3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.5
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，且均为正整数，是勾股数．
B、，且均为正整数，是勾股数．
C、，且均为正整数，是勾股数．
D、，但1.5、2、2.5不全是正整数，因此不是勾股数．
故答案为：D．
【分析】勾股数必须为正整数且满足两边的平方和等于最大边的平方。本题根据勾股数的定义逐项进行计算并分析即可得出答案。
4． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABD中，AD=12，BD=9，
由勾股定理得：，
设DC=x，则BC=BD+DC=9+x，
在Rt△ADC中，AD=12，DC=x，AC=20，
由勾股定理得：，
即：，
解得x=16，
∴DC=16，BC=9+16=25，
∵，
∴△ABC为直角三角形，直角在A点，
故答案为：C.
【分析】 已知AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，通过勾股定理计算各边长度，再利用勾股定理逆定理或角度判断形状即可.
5．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，如图．
由题意得，，，
，．
是等腰直角三角形．
．
【分析】连接，如图．在网格中，根据勾股定理可得出，，，进而得出，．即可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可得出．
6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　 　.
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102
∴该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8
∴三角形的面积为
故答案为：24
【分析】根据勾股定理逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8，再根据三角形面积即可求出答案.
7．如图，在3×4的正方形网格中，　 　
【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求得对应线段的长度，再根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，即可求解．
8．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则　 　
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴为直角三角形，．
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理“一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，且最大边所对的角是直角”可判断得出答案.
9． 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13， 请你连结AC. 求：
（1） AC的长；
（2） 四边形ABCD 的面积.
【答案】（1）解：连接AC，
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
（2）
是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
在 Rt△ABC中，
在 Rt△ADC中，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据∠B=90°，想到构造直角三角形求AC的长，所以连接AC，即可解答；
(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分成△ABC的面积和△ACD的面积之和，即可解答.
二、巩固提升
10．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，故A不能构成直角三角形；
B、 ，故B能构成直角三角形；
C、 ，故C能构成直角三角形；
D、 ，故D能构成直角三角形；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
11．如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　）．
A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股数
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴；；；．
A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意；
C．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项计算，判断解答即可．
12．如图，在小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中能与点M，N构成一个直角三角形的是 （　　）
A．点A B．点B C．点C D．点 D
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设题图中每个小正方形的边长均为1. A选项，连接MN，AN，因为. 所以 所以 不是直角三角形，故A不符合题意；B选项，连接 BM，BN，MN，因为 所以 所以△BMN不是直角三角形，故B 不符合题意；C选项，连接MN，CN，因为 所以 所以△CMN不是直角三角形，故C 不符合题意；D选项，连接DM，DN，MN，因为 所以 所以△DMN是直角三角形，故D符合题意.
故选D.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答.
13．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A 选项， 252，故 A 不正确；B 选项， ，故B 不正确；C选项， 故 C 正确；D选项， 故D 不正确.
故答案为：C.
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可.
14．如图所示的一块土地，AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，∠ABC=90°，则这块土地的面积为　 　m2.
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC.
因为AB=3m，BC = 4m， ∠ABC =90°，所以由勾股定理得 所以AC=5 m.因为CD=13 m，AD=12 m，所以 ，所以△CAD 是直角三角形，∠CAD=90°，所以这块土地的面积为
故答案为24.
【分析】连接AC，先求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理证明 是以 为直角的 最后根据 代入数据计算即可.
15．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A 出发沿 AB 边向 B 点以 1 cm/s 的速度移动，点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以2cm /s的速度移动.若P，Q两点同时出发，则3s时，△BPQ 的面积为　 　cm2.
【答案】18
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC为5x cm.因为周长为36 cm，所以AB+BC+AC=36cm，所以3x+4x+5x=36，解得x=3，所以AB=9 cm，BC=12 cm，AC=15 cm. 因为 所以△ABC 是直角三角形.3s时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，所以
故答案为18.
【分析】首先设AB为3xcm， BC为4xcm， AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形。再求出3秒后的， BP， BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解.
16．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是　 　
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线性质、垂线段最短及三角形的面积问题.利用角平分线性质将线段和转化为垂线段长度，结合面积法求垂线段.
17．已知△ABC的三边a，b，c满足 则△ABC 是　 　三角形.
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：因为 13|=0，所以a-5=0，b-12=0，c-13=0，所以a=5，b=12，c=13.因为 即 所以△ABC 是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】根据非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.
18．如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
故答案为：．
【分析】根据面积求出AC，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案.
19．如图， 在 中， 点D是 外一点， 连接DC， DB， 且CD=4，BD=3.
（1）求BC的长；
（2）求证： 是直角三角形.
【答案】（1）解：因为Rt△ABC中， ∠BCA=90°， AC=12， AB=13，所以
所以BC=5.
（2）证明：∵在中，，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在中，根据勾股定理求出长解答即可；
（2）利用勾股定理逆定理判断的形状即可．
20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设AB 为最长边，当 时，△ABC 是直角三角形；当 时，通过比较代数式（ 和c2 的大小，探究△ABC 的形状（按角分类）.
（1）当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC为　 　三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC为　 　三角形.
（2）猜想：当　 　时，△ABC 为锐角三角形；当　 　时，△ABC 为钝角三角形.
（3）当a=2，b=4时，探究△ABC 的形状，并求出对应的c2 的取值范围.
【答案】（1）锐角；钝角
（2）>；<
（3）解：因为c为最长边的长，2+4=6，所以4≤c<6.
①当 即 时，△ABC 是锐角三角形，此时
②当 即 时，△ABC是直角三角形；
③当 即 时，△ABC 是钝角三角形，此时
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)当一个直角三角形的两直角边长为6，8 时，斜边长为 10，因为9<10，所以当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC 为锐角三角形；因为11>10，所以当△ABC 三边长分别为6，8，11 时，△ABC 为钝角三角形.
故答案为锐角，钝角.
(2)当 时，△ABC为锐角三角形；当 时，△ABC 为钝角三角形
故答案为>，<.
【分析】(1)利用勾股定理的逆定理判断即可.
(2)利用勾股定理判断即可；
(3)分三种情形：①当 时，②当 时，③当 时，分别求解即可.
三、能力应用
21．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c， n是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示).
【答案】m
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：因为a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c 所以 因为 m 是大于1的奇数，所以b=m.
故答案为： m.
【分析】根据勾股数的定义解答即可.
22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
【答案】解：（1）点M，N是线段的勾股分割点，理由如下：
如图，
∵，
∴
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形，
∴点是线段的勾股分割点.
(2)如图，
设，则，
①当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
②当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
综上所述，的长为或.
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的逆定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据，结合勾股分割点的定义，勾股定理的逆定理计算出得，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点.
（2）根据，设，则，结合点是线段的勾股分割点，且为直角边，可分2种情况讨论，当MN是最长边时，结合勾股分割点的定义得，据此列方程可解得的长，同理可得，当BN是最长边时的长，综合两种情况即可得答案.
23．为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问题 如何测量墙体是否与地面垂直？
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
测量示意图
（1）第一、二小组的方案可行吗 如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可；
利用，即可得到，，然后利用三角形内角和定理可得解题即可；
以点为顶点得到等腰，然后利用三线合一定理得到，点是的中点，则解题即可．
（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
1 / 11.2一定是直角三角形吗-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（　　)
A．1， 2， 3 B．2， 3， 4
C．5， 12， 13 D．4， 5， 6
2．已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断△ABC是直角三角形（　　）
A．∠A=∠B+∠C B．
C．a： b： c=3： 4： 5 D．
3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.5
4． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
5．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则　 　．
6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　 　.
7．如图，在3×4的正方形网格中，　 　
8．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则　 　
9． 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13， 请你连结AC. 求：
（1） AC的长；
（2） 四边形ABCD 的面积.
二、巩固提升
10．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13
11．如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　）．
A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d
12．如图，在小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中能与点M，N构成一个直角三角形的是 （　　）
A．点A B．点B C．点C D．点 D
13．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是(　　)
A． B．
C． D．
14．如图所示的一块土地，AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，∠ABC=90°，则这块土地的面积为　 　m2.
15．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A 出发沿 AB 边向 B 点以 1 cm/s 的速度移动，点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以2cm /s的速度移动.若P，Q两点同时出发，则3s时，△BPQ 的面积为　 　cm2.
16．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是　 　
17．已知△ABC的三边a，b，c满足 则△ABC 是　 　三角形.
18．如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于　 　．
19．如图， 在 中， 点D是 外一点， 连接DC， DB， 且CD=4，BD=3.
（1）求BC的长；
（2）求证： 是直角三角形.
20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设AB 为最长边，当 时，△ABC 是直角三角形；当 时，通过比较代数式（ 和c2 的大小，探究△ABC 的形状（按角分类）.
（1）当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC为　 　三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC为　 　三角形.
（2）猜想：当　 　时，△ABC 为锐角三角形；当　 　时，△ABC 为钝角三角形.
（3）当a=2，b=4时，探究△ABC 的形状，并求出对应的c2 的取值范围.
三、能力应用
21．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c， n是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示).
22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
23．为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问题 如何测量墙体是否与地面垂直？
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
测量示意图
（1）第一、二小组的方案可行吗 如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
B：，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意；
C：，，，这三条线段能组成直角三角形，故符合题意；
D：，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一验证选项即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：对A选项， ∠A=∠B+∠C ，而A+B+C=180°，得∠A=90°，△ABC为直角三角形，故A不符合题意；
对B选项，得c2=a2+b2，故△ABC为直角三角形，故B不符合题意；
对C选项， a： b： c=3： 4： 5 ，a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形，故C不符合题意；
对D选项，，a2+b2=c2，故不能判断△ABC为直角三角形，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】分别根据各选项的条件，结合三角形内角和定理和勾股定理逆定理，即可判断.
3．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，且均为正整数，是勾股数．
B、，且均为正整数，是勾股数．
C、，且均为正整数，是勾股数．
D、，但1.5、2、2.5不全是正整数，因此不是勾股数．
故答案为：D．
【分析】勾股数必须为正整数且满足两边的平方和等于最大边的平方。本题根据勾股数的定义逐项进行计算并分析即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABD中，AD=12，BD=9，
由勾股定理得：，
设DC=x，则BC=BD+DC=9+x，
在Rt△ADC中，AD=12，DC=x，AC=20，
由勾股定理得：，
即：，
解得x=16，
∴DC=16，BC=9+16=25，
∵，
∴△ABC为直角三角形，直角在A点，
故答案为：C.
【分析】 已知AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，通过勾股定理计算各边长度，再利用勾股定理逆定理或角度判断形状即可.
5．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，如图．
由题意得，，，
，．
是等腰直角三角形．
．
【分析】连接，如图．在网格中，根据勾股定理可得出，，，进而得出，．即可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可得出．
6．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102
∴该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8
∴三角形的面积为
故答案为：24
【分析】根据勾股定理逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求得对应线段的长度，再根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴为直角三角形，．
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理“一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，且最大边所对的角是直角”可判断得出答案.
9．【答案】（1）解：连接AC，
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
（2）
是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
在 Rt△ABC中，
在 Rt△ADC中，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据∠B=90°，想到构造直角三角形求AC的长，所以连接AC，即可解答；
(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分成△ABC的面积和△ACD的面积之和，即可解答.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，故A不能构成直角三角形；
B、 ，故B能构成直角三角形；
C、 ，故C能构成直角三角形；
D、 ，故D能构成直角三角形；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
11．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股数
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴；；；．
A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意；
C．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项计算，判断解答即可．
12．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设题图中每个小正方形的边长均为1. A选项，连接MN，AN，因为. 所以 所以 不是直角三角形，故A不符合题意；B选项，连接 BM，BN，MN，因为 所以 所以△BMN不是直角三角形，故B 不符合题意；C选项，连接MN，CN，因为 所以 所以△CMN不是直角三角形，故C 不符合题意；D选项，连接DM，DN，MN，因为 所以 所以△DMN是直角三角形，故D符合题意.
故选D.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答.
13．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A 选项， 252，故 A 不正确；B 选项， ，故B 不正确；C选项， 故 C 正确；D选项， 故D 不正确.
故答案为：C.
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可.
14．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC.
因为AB=3m，BC = 4m， ∠ABC =90°，所以由勾股定理得 所以AC=5 m.因为CD=13 m，AD=12 m，所以 ，所以△CAD 是直角三角形，∠CAD=90°，所以这块土地的面积为
故答案为24.
【分析】连接AC，先求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理证明 是以 为直角的 最后根据 代入数据计算即可.
15．【答案】18
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC为5x cm.因为周长为36 cm，所以AB+BC+AC=36cm，所以3x+4x+5x=36，解得x=3，所以AB=9 cm，BC=12 cm，AC=15 cm. 因为 所以△ABC 是直角三角形.3s时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，所以
故答案为18.
【分析】首先设AB为3xcm， BC为4xcm， AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形。再求出3秒后的， BP， BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解.
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线性质、垂线段最短及三角形的面积问题.利用角平分线性质将线段和转化为垂线段长度，结合面积法求垂线段.
17．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：因为 13|=0，所以a-5=0，b-12=0，c-13=0，所以a=5，b=12，c=13.因为 即 所以△ABC 是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】根据非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.
18．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
故答案为：．
【分析】根据面积求出AC，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案.
19．【答案】（1）解：因为Rt△ABC中， ∠BCA=90°， AC=12， AB=13，所以
所以BC=5.
（2）证明：∵在中，，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在中，根据勾股定理求出长解答即可；
（2）利用勾股定理逆定理判断的形状即可．
20．【答案】（1）锐角；钝角
（2）>；<
（3）解：因为c为最长边的长，2+4=6，所以4≤c<6.
①当 即 时，△ABC 是锐角三角形，此时
②当 即 时，△ABC是直角三角形；
③当 即 时，△ABC 是钝角三角形，此时
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)当一个直角三角形的两直角边长为6，8 时，斜边长为 10，因为9<10，所以当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC 为锐角三角形；因为11>10，所以当△ABC 三边长分别为6，8，11 时，△ABC 为钝角三角形.
故答案为锐角，钝角.
(2)当 时，△ABC为锐角三角形；当 时，△ABC 为钝角三角形
故答案为>，<.
【分析】(1)利用勾股定理的逆定理判断即可.
(2)利用勾股定理判断即可；
(3)分三种情形：①当 时，②当 时，③当 时，分别求解即可.
21．【答案】m
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：因为a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c 所以 因为 m 是大于1的奇数，所以b=m.
故答案为： m.
【分析】根据勾股数的定义解答即可.
22．【答案】解：（1）点M，N是线段的勾股分割点，理由如下：
如图，
∵，
∴
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形，
∴点是线段的勾股分割点.
(2)如图，
设，则，
①当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
②当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
综上所述，的长为或.
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的逆定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据，结合勾股分割点的定义，勾股定理的逆定理计算出得，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点.
（2）根据，设，则，结合点是线段的勾股分割点，且为直角边，可分2种情况讨论，当MN是最长边时，结合勾股分割点的定义得，据此列方程可解得的长，同理可得，当BN是最长边时的长，综合两种情况即可得答案.
23．【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可；
利用，即可得到，，然后利用三角形内角和定理可得解题即可；
以点为顶点得到等腰，然后利用三线合一定理得到，点是的中点，则解题即可．
（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
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