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甘肃省临洮中学2025-2026学年高二下学期期末考试卷（三） 数学
一、单选题
1．一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为（ ）
A．6.5 B．7 C．9 D．12
2．设集合A＝{ x |－2≤ x ≤ 3}，B＝{ x | x <－1或x > 4}，则（ ）
A．{ x |－2 ≤ x ≤ 4} B．{ x |－1 ≤ x ≤ 3}
C．{ x | 3 ≤ x ≤ 4} D．{ x | x ≤ 3或x ≥ 4}
3．若，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若，则有（ ）
A．最小值1 B．最小值2 C．最大值1 D．最大值2
5．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则（ ）
A． B．1.05 C． D．0.75
6．若1和2是函数的两个极值点，则（ ）
A． B． C．2 D．3
7．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最小值为 B．最小正周期为
C．在上单调递减 D．的图象关于对称
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．角B的最大值为
C． D．若，则
11．已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________．
13．已知数列满足，，则________．
14．在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点A，B满足，O是球心，且点A到平面的距离为3，则点B到平面距离的最大值为________．
四、解答题
15．已知函数，数列满足，且，设．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和．
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点
(1)证明：平面;
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自 部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．法国著名数学家加斯帕尔 蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围；
(3)若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B C D D D ABC BD
题号 11
答案 BC
1．D
解析：因为，所以该组数据的分位数是第7个数12.
故选：D.
2．A
解析：因为B＝{ x | x <－1或x > 4}，
所以，
因为A＝{ x |－2≤ x ≤ 3}，
所以，
故选：A
3．B
解析：依题意，，解得.
故选：B
4．B
解析：解：∵，
∴，
当且仅当，时取等号．
因此的最小值为2．
故选：B．
5．C
解析：，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C
6．D
解析：由函数，可得，
因为1和2是函数的两个极值点，
所以，解得，
所以.
故选: D.
7．D
解析：因为，，
所以令，可得，
又令，可得，
所以，
故选：D.
8．D
解析：双曲线实轴长为，伴随圆以原点为圆心、实轴长为直径，故半径为，伴随圆方程为： ，
设双曲线上点，根据圆的切点弦方程结论，过的切点弦的方程为：，
令得，即；令得，即，
在双曲线上，满足，即，即，
两边同乘整理得，即，
已知双曲线离心率，故，得，
因此.
9．ABC
解析：因为.
对于A：的最小值为，故A正确；
对于B：最小正周期为，故B正确；
对于C：因为，则，
且余弦函数在内单调递减，
所以在上单调递减，故C正确；
对于D：因为，所以的图象不关于对称，故D错误.
10．BD
解析：由，，，
得，
化简得，.
故A不正确；
由余弦定理的推论知，.
因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立.
所以为锐角.
因为，且在上单调递减，所以.
故B正确；
当时，，为正三角形，
满足.
，所以C不正确；
若，则由正弦定理得，.
又，所以.
所以，故D正确.
11．BC
解析：构造函数，其中，则，
因为对于任意的满足
当时，，则函数在上单调递增，
又函数是奇函数，
所以，所以在上为偶函数，
所以函数在上单调递减，
，则，即，即，
化简得，A选项错误；
同理可知，即，即，
化简得，B选项正确；
，且即，即，
化简得，C选项正确，
，且即，即，
化简得，D选项错误，
故选：BC.
12．
2
解析：由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，
所以点P到抛物线C的准线的距离为.
13．
解析：由得，
因为，
所以
所以数列的周期为4，
故
14．/
解析：如图，过作与平面平行的截面，截面直径为，截面，在球面上.
取的中点，过作的平行线，交球与于，
则以点为圆心，为直径的圆到平面的距离为.
所以点在该圆上，当重合时，
在平面中，过作与垂直的直径交球于，
则点在以为直径且垂直于的大圆上运动，
当与重合时，到平面距离最大.
设，则，
所以到截面的距离的最大值为.
所以点B到平面距离的最大值为.
15．(1)由题意得，
，
，
是首项为，公差为的等差数列．
(2)
解析：（1）略
（2）由（1）知，即，
，
．
16．(1)证明：分别为的中点，
为正方形，
,平面平面，
平面.；
(2).
解析：（1）略
（2）由题知平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
，，，
设平面的一个法向量为
则，令则，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
解析：（1）函数的定义域为R，求导得，
令，即，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增
故的单调递减区间为( ∞,0)，单调递增区间为(0,+∞).
（2）由不等式恒成立，即恒成立，
即对于任意，不等式恒成立，
设，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，也是最小值，
，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
18．(1)分布列：
0 1 2
数学期望为1
(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100
解析：（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．(1)
(2)
(3)，.
解析：（1）由题意，解得，
则椭圆的方程为.
（2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ，
则斜率为，
由点差法：两式相减得，
代入，得,
由于在上，故，
联立得，
在椭圆内部，代入椭圆不等式：，
解得.
（3）设，满足，即，
联立得，，
由于直线：，则到的距离，
则
平方得，
代入以及，
整理得 ，
要使得与无关，则，得，
代入得，则.
所以存在使得时，的面积为定值1.

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