资源简介

辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．2 C．9 D．21
3．52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A．162 B．243 C．384 D．512
7．甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ）
A． B．
C． D．
8．若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ）
A． B．
C． D．数列的前1000项和大于
11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题
12．已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．
13．已知随机变量，，且，若，则__________．
14．已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________．
四、解答题
15．已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列满足，为数列的前项和，求.
16．已知函数，.
(1)若函数在点处的切线方程为，求，的值；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.
17．2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望；
(3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差．
18．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的取值范围.
19．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)函数有两个零点，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C C C C CD BC
题号 11
答案 ABC
1．D
解析：函数f（x）=log2（4+3x-x2），令t=4+3x-x2 ＞0，求得-1＜x＜4，
即函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，
即求函数t在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2 在定义域内的减区间为.故选D．
2．B
解析：法一：利用等差数列的基本量运算
由，即，
又.
法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，
由，所以
.故选：B.
3．B
解析：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则.
4．D
解析：因为定义在上，所以中的式子要有意义，
需满足，解得.
因为，所以，即，
设函数，则在定义域上单调递减.
要求，则
当，即时，，即，
所以，解得或，所以；
当，即时，，即，
所以，解得；
在中，令得，
而在中，当时，有，显然成立；
综上，的解集为.
故选：D.
5．C
解析：由已知条件和分期付款公式，可得
，
∴．
故选：C
6．C
解析：因为，即，所以，
可得数列为等比数列，首项为，公比，
所以，
所以.
7．C
解析：由题意可知，每局比赛乙获胜的概率为 ，且各局比赛结果相互独立，乙战胜甲有两类互斥情况：
第一类：乙连胜2局，那么
第二类：比赛共进行3局，前2局乙胜1局且第3局乙胜，那么
，
故乙战胜甲的概率为
8．C
解析：由得，即，
即.
设，则，
因为，所以在上单调递增，所以，即，
设，则，
当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，
所以，所以.
故选：C.
9．CD
解析：令函数，求导得，由，
得，即函数在定义域上单调递增，由，得，
不等式，即，解得，
所以所求的值可能为1，2.
10．BC
解析：由题意知，，，.
因为，，是公比为的等比数列，所以，，，
即，，
解得，，故B正确.
，故A错误.
，，，故C正确.
因为为等差数列，所以.
所以，
则数列的前项和
.
，故D错误.
11．ABC
解析：依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知，
，，
，，
所以A，B正确,
，
，故C正确，D错误.
故选：ABC.
12． （答案不唯一，满足即可）
解析：等差数列的前项和公式为，通项公式为.
∵ ，，
∴ .
由，得，
消去等式两侧的，整理得，解得.
∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立，
∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ，
代入通项公式得，解得，
取即为符合条件的一个取值.
13．
解析：，，
，，即，解得，
，
由对称性可得，
又，
，
．
故答案为：．
14．0
解析：由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则，
即．
令，得，，
由于中，且，
分析：由于，可知，
又由于，且，所以零点的组合不能是或，
故的组合只能是，这样只能是，，可计算得， 满足题意，
此时，．
令，得或，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
则由单调性可知，的极大值为．
故答案为：0
15．（1） （2）
解析：由题可知，且
即
可得
16．(1)
(2)
解析：（1）由题，，因为在处的切线为，所以，
代入得切点为，切点在切线上，则.
（2）由题，求导得，
由在上单调递增，得在上恒成立，
当时，，因此在上恒成立，又，则
17．(1)
(2) 的分布列为
0 1 2
数学期望为
(3) 的分布列为
0 1 2 3
方差为
解析：（1）依题意，得 ，解得 ．
（2）依题意，成绩在的人有 （人），
成绩在的人有 （人），
用分层随机抽样的方法抽取5人，
则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人．
所以 的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以．
（3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率，
所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为．
又全公司中成绩在范围的人有 （人），
所以 的可能取值为0，1，2，3，且．
所以，，
，．
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以，
所以．
18．(1)
因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，，
当时，，
即，所以，，
因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为.
(2)
(3)
解析：（1）略
（2）由（1）可得，则当时，，
也满足，故，.
（3）由可得
，
令，则
则
，即，
所以，数列为单调递增数列，则，
因此，的取值范围是.
19．(1)的单调递减区间是，单调递增区间是
(2)当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
(3)，
因为函数有两个零点，，不妨设，
则，
所以，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证．
解析：（1）函数的定义域为
当时，函数，
所以
令，解得，所以函数的减区间是．
令，解得 ，所以函数的增区间是．
（2）函数的定义域为，
又，
①当时，对任意的，，
当，；当 ，，
此时函数在上单调递减，在上单调递增；
②当时，
由可得，由可得或 ，
此时函数在上单调递减，在和上单调递增；
③当时，恒成立，
此时函数在上单调递增；
④当时
由可得，由可得或，
此时函数在上单调递减，在和上单调递增；
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）略

展开更多......

收起↑