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第一章 《勾股定理》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状。它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为 。已知配套吸管的长度为 ，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 （不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设上碗口的圆心为，杯底圆心为，吸管接触杯底边缘的点为，连接、，则，为直角三角形。
∵吸管外露长度最小值为5cm，吸管总长27.6cm，∴此时吸管在杯中的长度cm，
又∵吸管口到杯底的距离cm，
由勾股定理得：cm，
∵为杯子下底面的半径，∴杯子下底面的直径为cm
故答案为：C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题时先根据“吸管外露长度最小则吸管在杯中的长度最大”，结合吸管总长求出吸管在杯中的最大长度，再将该长度、吸管口到杯底的距离转化为直角三角形的斜边和一条直角边，利用勾股定理求出杯子下底面的半径，最后乘以2得到底面直径。
2．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点 P，若正方形ABCD 的面积为30， AE+BE=7， 则△CFP与△AEP 的面积差是 (　　)
A． B．7 C． D．11
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，记CP交DG于点M。
∵正方形ABCD的面积为30
∴AB2=30
设AE=x，则BE=7-x.
在Rt△AEB中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2
∴x2+(7-x)2=30
∴2x2-14x=-19
∵
∴
∴
∵
∴AE=CG
∴
∴EP=MG，
∴
∵
=11
∴的值为
即 △CFP 与 △AEP 的面积差为
故答案为：C .
【分析】由正方形ABCD面积为30可知AB2=30，设参数表示AE，BE的长度，利用勾股定理可得2x2-14x=-19，易证，得到内错角，由ASA判定可证明，从而得到对应边EP=MG，再将 △CFP 与 △AEP 的面积差转化为，而=11，故可求=。
3．我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 (　　)
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，△BOD≌△BOE，△COE≌△COF，
∴BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x＝24，
故选：D．
【分析】由全等三角形的性质易得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程即可求解．
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则 S△ABF=S△BDE，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ∠CAD=∠CBE，
又∠AFE=∠BFD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即BE⊥AC，
∵ 点E是边AC的中点，
∴AB=BC，
∴ BE平分∠ABC，即①正确；
∵∠ADC=90°， 点E是边AC的中点，
∴DE=， AD2+CD2=AC2，
∴ AD2+CD2=4DE2，即②正确；
由①②知，∠ABE=∠CBE，∠DAE=∠ADE，
又 ∠CAD=∠CBE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠AFB=∠DFE，
∴∠BAD=∠BED，
∴∠CDE=∠CBE+∠BED=∠ABE+∠BAD，即③正确；
∵ S△ABF=， S△BDE =，
∵BF>BD，AE=CE，
∴ S△ABF>S△BDE，即④错误；
故答案为：A.
【分析】根据 AD⊥BC 、三角形内角和定理、勾股定理知BE⊥AC，从而知①②正确；结合题意，根据三角形内角和定理及外角性质知③正确；根据“直角三角形中斜边大于直角边”及三角形面积公式知④不正确.
5． 如图，分别以 三边为边向外作正方形，连接 BD.若，则正方形 ABGF 的面积为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设AC=a，BC=b，
由AD||BC知，解得a=2
而，解得b=4，
由勾股定理得AB
故
故答案为：D .
【分析】由平行同底等高可得AC的长，由此可得BC的长，求出AB2即这ABGF的面积.
6．如图所示，意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
故①，②，③，④正确，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理的证明思路，核心是利用拼剪前后面积不变的原理，结合正方形和直角三角形的面积公式进行推导。首先计算，图1空白部分由两个边长分别为、的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积分别为和，两个直角三角形面积和为，因此；再计算，图2空白部分由一个边长为的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积为，两个直角三角形面积和仍为，因此；由于拼剪过程中只是改变了图形的形状，总面积保持不变，所以空白部分面积也相等，即；结合和的表达式，可推出，因此四个结论均正确。
7．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上， 设CE=a， HG=b， 则正方形BDFA的面积是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设CD=x，则DE=a-x，
∵HG=b，
∴AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x，
∴x=，
∴BC=DE=a-=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=（）2+（）2=，
∴正方形BDFA的面积为。
故答案为：.
【分析】 设CD=x，则DE=a-x，求得x=，在Rt△BCD中，利用勾股定理求解即可.
8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，△EFH，△FCG， 四边形BDIG 的面积分别记为S1， S2， S3， 若已知 则两个较小正三角形纸片的重叠部分 (△HIJ)的面积为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，由勾股定理得，
故答案为：C .
【分析】根据勾股定理得到 根据正三角形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正三角形纸片的重叠部分( △HIJ )的面积.
9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，即，
∴在中，，在中，，
∴，
在中，，在中，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据垂美四边形的定义可得，由勾股定理可得，得到，，求解即可．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为（　　）
A．()2018 B．()2020 C．()2021 D．()2023
【答案】A
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴S1=DC2=42=16，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=EC，
∵DE2+CE2=DC2，
∴DE2=DC2=S1=8，
∴S2=DE2=8，
同理S3=S2=S1，S4=S1，
∴S2023=×S1=×24=()2018．
故答案为：A．
【分析】先求出S1，S2，S3，从中找出规律，由此推出S2023.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若 则S2的值是　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：解法一 ，
，得
即
解法二 ，，
，即 ，
故答案为： .
【分析】解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边分别为a，b(b>a).
12．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘 B 处离桌面的高度 BC 为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时 (D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A 处与 E 之间的距离AE 为　 　.
【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】在中根据勾股定理求出长，在再中根据勾股定理求出长解答即可．
13．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　．
【答案】24
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得：
故答案为：24.
【分析】根据已知图形的面积分割即 正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形的面积等于正方形的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.
14．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积S=　 　．
【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，∴，则，∴，在和中，∴，∴，同理可证得：，∴，又由勾股定理可得：，则，故，，则图中实线所围城的图形的面积是：
故答案为：50.
本题主要考查了三角全等的判定及性质，等量代换及图形，面积拆分的思想.根据已知条件可得：
，然后运用等量代换的思想求得：，进而求得，得到：，然后再运用同样的方法求得：，进而运用勾股定理求得，然后根据进行求解即可.
15．如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样子，分别与交于G、H，若的面积分别为4，9，16，则　 　．
【答案】11
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
设的面积分别为，
∵在，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，
∴
∵的面积分别为4，9，16，
∴
，
整理上式：得，
∵，
∴，
则，
∴，
即，
故答案为：11．
【分析】设的面积分别为，先利用三角形的面积公式求出，再求出
，利用，可得，求出，从而可得.
16．勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　．
【答案】13，84，85
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【分析】由勾股数组： ， ， 中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），可得第5组的勾股数组为60＝5×（11+1），第6组的勾股数组为6×（13+1）＝84，进而得出13，84，85
三、解答题（共8题，共72分）
17．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中，连接交于点，连接，得到图1．若．
（1）求证：；
（2）延长，交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：
（2）解：如图，
由（1）知
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出，由全等三角形的对应边相等得AB=AD，由等量代换得，由直角三角形性质得∠DFA=90°，从而根据三线合一即可得出结论；
（2）由等腰三角形的三线合一得出∠1=∠3，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行可推出AF∥CH，由二直线平行，内错角相等推出∠3=∠4，结合对顶角相等及等量代换推出及对顶角相等可推出∠2=∠5，由等角对等边得出MC=ME，设，则，由全等三角形的性质得到，则，然后根据直角三角形两锐角互余及等量代换可推出，最后在Rt△ABM中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
（1）证明：
（2）解：如图，
由（1）知
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
18．【问题背景】
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）【探索求证】
图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．
（2）【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？
（3）【延伸扩展】
如图④，已知，，，，设，求的值．
【答案】（1）解：如图②所示：
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
，，
，
，即，
，
新路比原路少；
（3），，，，，
，，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）计算梯形ABCD的面积，一方面根据梯形面积公式计算，另一方面根据三角形的面积公式计算三个直角三角形面积之和，然后根据梯形面积等于三个直角三角形面积建立等式，化简后得到勾股定理的表达式；
（2）设AB=AC=x，则AH=x-1.8km，在Rt△ACH中利用AB=AC以及勾股定理建立方程，求出x的值，进而得到AC的值，最后计算出CA CH的值；
（3）分别在Rt△ACD和Rt△BCD中根据勾股定理表示出CD2，然后建立关于x的方程，求解得到x的值。
19．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A和B是这个三级台阶两个相对的端点.
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①所示，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少
①②③④
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②所示，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度为　 　，就是最短路程.
（2）【变式探究】如图③所示的是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为　 　.
（3）【拓展应用】如图④所示，圆柱形玻璃杯的高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少 (杯壁厚度不计)
【答案】（1）25
（2）17 cm
（3）如图所示，将玻璃杯的一半侧面展开，作B关于EF的对称点B'，
作B'D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB'，BF，则BF+AF为最短路程.
由题意，得DE=1 cm，AE=9-4=5(cm)，
∴AD=AE+DE=6 cm.
∵底面周长为16 cm，
∴B'D=×16=8(cm).
∵B'D2+AD2=AB'2，
∴AB'2=82+62=100，
∴AB'=10 cm，
∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10 cm
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型；勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：⑴
如图，根据勾股定理知：AB==25，
故填：25.
⑵
如图，根据勾股定理知：AB=cm，
故填：17cm.
【分析】⑴ 将三级台阶展开成平面图形 ，利用勾股定理计算出AB的长即可.
⑵将圆柱侧面展开成平面图形平面图形，利用勾股定理计算出AB的长即可.（展开后底面周长的一半为直角三角形的一直角边长）
⑶利用对称将外壁的B点对称到“内壁”的B'点，再构建直角三角形，利用勾股定理求出AB'的长.
20．如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：　 　．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的长为或1．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），，
垂直平分，
．
故答案为：；
（3）解：如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或1．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，借助辅助线构造全等三角形，将线段AF，EF，BE，围成一个直角三角形，即可写出线段AF，EF，BE之间的数量关系；
（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设，则，根据勾股定理构建方程求解即可．
21．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
【答案】（1）解：①；
②选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得
（2）解：①3；
证明：②结论；
，
（3）①；②，
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
（2）①根据题意，
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：；3；；，．
【分析】（1）①根据勾股定理的定义，写出即可；
②选择图1，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，然后再根据正方形和三角形的面积公式，代入数据即可证明；
（2）①在图4中，根据勾股定理，易得 ；在图5中，利用扇形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明；在图6中，根据等边三角形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明。
②观察图形可知，三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后再减去1个大半圆的面积，代入圆的面积公式，即可求解；
（3）①根据（1）（2），可知，最后再结合勾股定理，即可求解；
②作于点N，根据， ，易得 ，再根据， ，易证，可得，，同理可证，，进而即可求解。
（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
22．项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为．
设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数．
【规律探究】
分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
勾股数 序号
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
（1），对应的勾股数是(　 　，　 　，　 　)序号为　 　；
（2）勾股数对应的　 　，　 　；
（3）序号为的勾股数是(　 　，　 　，　 　)
（4）【项目拓展】项目组某成员观察上表发现：在序号从依次增大到的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从依次增大到的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【答案】（1）24；10；26；7
（2）6；1
（3）11；60；61
（4）解：不正确，
理由：当，时，，序号为；
当，时，，序号为；
，，
序号从增加到时，的值减小，
他的猜想不正确．
【知识点】勾股数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）将m＝5，n＝1分别代入公式计算：
m2-n2=52-12=25-1=24
2mn=2×5×1=10
m2+n2=52+12=25+1=26
对应勾股数为（24，10，26）；
统计m小于5的所有组数m=2有1组，m=3有2组，m=4有3组，全部相加，1+2+3＝6，
m＝5时，n＝1是该m下第1组，序号计算为：6+1=7
故答案为：24；10；26；7.
(2)勾股数（35，12，37)，则m2-n2=35，m2+n2=37，2mn=12，
故2m2=35+37=72
解得：m＝6，n=1
故答案为：6：1
（3）序号为15的勾股数，逐层累加每组数量，确定序号15对应的m、n
m=2一共有1组勾股数
m=3一共有1+2=3组勾股数
m=4一共有3+3=6组勾股数
m=5一共有6+4=10组勾股数，
m=6一共有10+5=15组勾股数，
则序号11对应m=6，n=1
序号12对应m=6，n=2
序号13对应m=6，n=3
序号14对应m=6，n=4
序号15对应m=6，n=5
将m＝6，n=5代入公式计算勾股数：
m2-n2=62-52=36-25=11
2mn=2×6×5=60，
m2+n2=62+52=36
故答案为：11；60；61
【分析】（1）m＝5，n＝1分别代入公式，结合表格信息即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）求出序号15对应的m，n，再代入公式即可求出答案.
（4）求出序号为10，11的m2+n2，再比较大小即可求出答案.
1 / 1第一章 《勾股定理》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状。它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为 。已知配套吸管的长度为 ，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 （不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点 P，若正方形ABCD 的面积为30， AE+BE=7， 则△CFP与△AEP 的面积差是 (　　)
A． B．7 C． D．11
3．我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 (　　)
A．12 B．16 C．20 D．24
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则 S△ABF=S△BDE，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
5． 如图，分别以 三边为边向外作正方形，连接 BD.若，则正方形 ABGF 的面积为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
6．如图所示，意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上， 设CE=a， HG=b， 则正方形BDFA的面积是 (　　)
A． B． C． D．
8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，△EFH，△FCG， 四边形BDIG 的面积分别记为S1， S2， S3， 若已知 则两个较小正三角形纸片的重叠部分 (△HIJ)的面积为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．10
9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为（　　）
A．()2018 B．()2020 C．()2021 D．()2023
二、填空题（每题3分，共18分）
11．我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若 则S2的值是　 　.
12．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘 B 处离桌面的高度 BC 为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时 (D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A 处与 E 之间的距离AE 为　 　.
13．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　．
14．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积S=　 　．
15．如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样子，分别与交于G、H，若的面积分别为4，9，16，则　 　．
16．勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中，连接交于点，连接，得到图1．若．
（1）求证：；
（2）延长，交于点，若，求的长．
18．【问题背景】
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）【探索求证】
图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．
（2）【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？
（3）【延伸扩展】
如图④，已知，，，，设，求的值．
19．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A和B是这个三级台阶两个相对的端点.
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①所示，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少
①②③④
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②所示，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度为　 　，就是最短路程.
（2）【变式探究】如图③所示的是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为　 　.
（3）【拓展应用】如图④所示，圆柱形玻璃杯的高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少 (杯壁厚度不计)
20．如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：　 　．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
21．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
22．项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为．
设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数．
【规律探究】
分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
勾股数 序号
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
（1），对应的勾股数是(　 　，　 　，　 　)序号为　 　；
（2）勾股数对应的　 　，　 　；
（3）序号为的勾股数是(　 　，　 　，　 　)
（4）【项目拓展】项目组某成员观察上表发现：在序号从依次增大到的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从依次增大到的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设上碗口的圆心为，杯底圆心为，吸管接触杯底边缘的点为，连接、，则，为直角三角形。
∵吸管外露长度最小值为5cm，吸管总长27.6cm，∴此时吸管在杯中的长度cm，
又∵吸管口到杯底的距离cm，
由勾股定理得：cm，
∵为杯子下底面的半径，∴杯子下底面的直径为cm
故答案为：C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题时先根据“吸管外露长度最小则吸管在杯中的长度最大”，结合吸管总长求出吸管在杯中的最大长度，再将该长度、吸管口到杯底的距离转化为直角三角形的斜边和一条直角边，利用勾股定理求出杯子下底面的半径，最后乘以2得到底面直径。
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，记CP交DG于点M。
∵正方形ABCD的面积为30
∴AB2=30
设AE=x，则BE=7-x.
在Rt△AEB中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2
∴x2+(7-x)2=30
∴2x2-14x=-19
∵
∴
∴
∵
∴AE=CG
∴
∴EP=MG，
∴
∵
=11
∴的值为
即 △CFP 与 △AEP 的面积差为
故答案为：C .
【分析】由正方形ABCD面积为30可知AB2=30，设参数表示AE，BE的长度，利用勾股定理可得2x2-14x=-19，易证，得到内错角，由ASA判定可证明，从而得到对应边EP=MG，再将 △CFP 与 △AEP 的面积差转化为，而=11，故可求=。
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，△BOD≌△BOE，△COE≌△COF，
∴BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x＝24，
故选：D．
【分析】由全等三角形的性质易得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程即可求解．
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ∠CAD=∠CBE，
又∠AFE=∠BFD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即BE⊥AC，
∵ 点E是边AC的中点，
∴AB=BC，
∴ BE平分∠ABC，即①正确；
∵∠ADC=90°， 点E是边AC的中点，
∴DE=， AD2+CD2=AC2，
∴ AD2+CD2=4DE2，即②正确；
由①②知，∠ABE=∠CBE，∠DAE=∠ADE，
又 ∠CAD=∠CBE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠AFB=∠DFE，
∴∠BAD=∠BED，
∴∠CDE=∠CBE+∠BED=∠ABE+∠BAD，即③正确；
∵ S△ABF=， S△BDE =，
∵BF>BD，AE=CE，
∴ S△ABF>S△BDE，即④错误；
故答案为：A.
【分析】根据 AD⊥BC 、三角形内角和定理、勾股定理知BE⊥AC，从而知①②正确；结合题意，根据三角形内角和定理及外角性质知③正确；根据“直角三角形中斜边大于直角边”及三角形面积公式知④不正确.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设AC=a，BC=b，
由AD||BC知，解得a=2
而，解得b=4，
由勾股定理得AB
故
故答案为：D .
【分析】由平行同底等高可得AC的长，由此可得BC的长，求出AB2即这ABGF的面积.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
故①，②，③，④正确，
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理的证明思路，核心是利用拼剪前后面积不变的原理，结合正方形和直角三角形的面积公式进行推导。首先计算，图1空白部分由两个边长分别为、的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积分别为和，两个直角三角形面积和为，因此；再计算，图2空白部分由一个边长为的正方形和两个直角边为、的直角三角形组成，正方形面积为，两个直角三角形面积和仍为，因此；由于拼剪过程中只是改变了图形的形状，总面积保持不变，所以空白部分面积也相等，即；结合和的表达式，可推出，因此四个结论均正确。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设CD=x，则DE=a-x，
∵HG=b，
∴AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x，
∴x=，
∴BC=DE=a-=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=（）2+（）2=，
∴正方形BDFA的面积为。
故答案为：.
【分析】 设CD=x，则DE=a-x，求得x=，在Rt△BCD中，利用勾股定理求解即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，由勾股定理得，
故答案为：C .
【分析】根据勾股定理得到 根据正三角形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正三角形纸片的重叠部分( △HIJ )的面积.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，即，
∴在中，，在中，，
∴，
在中，，在中，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据垂美四边形的定义可得，由勾股定理可得，得到，，求解即可．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴S1=DC2=42=16，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=EC，
∵DE2+CE2=DC2，
∴DE2=DC2=S1=8，
∴S2=DE2=8，
同理S3=S2=S1，S4=S1，
∴S2023=×S1=×24=()2018．
故答案为：A．
【分析】先求出S1，S2，S3，从中找出规律，由此推出S2023.
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：解法一 ，
，得
即
解法二 ，，
，即 ，
故答案为： .
【分析】解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边分别为a，b(b>a).
12．【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】在中根据勾股定理求出长，在再中根据勾股定理求出长解答即可．
13．【答案】24
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得：
故答案为：24.
【分析】根据已知图形的面积分割即 正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形的面积等于正方形的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.
14．【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，∴，则，∴，在和中，∴，∴，同理可证得：，∴，又由勾股定理可得：，则，故，，则图中实线所围城的图形的面积是：
故答案为：50.
本题主要考查了三角全等的判定及性质，等量代换及图形，面积拆分的思想.根据已知条件可得：
，然后运用等量代换的思想求得：，进而求得，得到：，然后再运用同样的方法求得：，进而运用勾股定理求得，然后根据进行求解即可.
15．【答案】11
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
设的面积分别为，
∵在，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，
∴
∵的面积分别为4，9，16，
∴
，
整理上式：得，
∵，
∴，
则，
∴，
即，
故答案为：11．
【分析】设的面积分别为，先利用三角形的面积公式求出，再求出
，利用，可得，求出，从而可得.
16．【答案】13，84，85
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【分析】由勾股数组： ， ， 中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），可得第5组的勾股数组为60＝5×（11+1），第6组的勾股数组为6×（13+1）＝84，进而得出13，84，85
17．【答案】（1）证明：
（2）解：如图，
由（1）知
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出，由全等三角形的对应边相等得AB=AD，由等量代换得，由直角三角形性质得∠DFA=90°，从而根据三线合一即可得出结论；
（2）由等腰三角形的三线合一得出∠1=∠3，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行可推出AF∥CH，由二直线平行，内错角相等推出∠3=∠4，结合对顶角相等及等量代换推出及对顶角相等可推出∠2=∠5，由等角对等边得出MC=ME，设，则，由全等三角形的性质得到，则，然后根据直角三角形两锐角互余及等量代换可推出，最后在Rt△ABM中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
（1）证明：
（2）解：如图，
由（1）知
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
18．【答案】（1）解：如图②所示：
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
，，
，
，即，
，
新路比原路少；
（3），，，，，
，，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）计算梯形ABCD的面积，一方面根据梯形面积公式计算，另一方面根据三角形的面积公式计算三个直角三角形面积之和，然后根据梯形面积等于三个直角三角形面积建立等式，化简后得到勾股定理的表达式；
（2）设AB=AC=x，则AH=x-1.8km，在Rt△ACH中利用AB=AC以及勾股定理建立方程，求出x的值，进而得到AC的值，最后计算出CA CH的值；
（3）分别在Rt△ACD和Rt△BCD中根据勾股定理表示出CD2，然后建立关于x的方程，求解得到x的值。
19．【答案】（1）25
（2）17 cm
（3）如图所示，将玻璃杯的一半侧面展开，作B关于EF的对称点B'，
作B'D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB'，BF，则BF+AF为最短路程.
由题意，得DE=1 cm，AE=9-4=5(cm)，
∴AD=AE+DE=6 cm.
∵底面周长为16 cm，
∴B'D=×16=8(cm).
∵B'D2+AD2=AB'2，
∴AB'2=82+62=100，
∴AB'=10 cm，
∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10 cm
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型；勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：⑴
如图，根据勾股定理知：AB==25，
故填：25.
⑵
如图，根据勾股定理知：AB=cm，
故填：17cm.
【分析】⑴ 将三级台阶展开成平面图形 ，利用勾股定理计算出AB的长即可.
⑵将圆柱侧面展开成平面图形平面图形，利用勾股定理计算出AB的长即可.（展开后底面周长的一半为直角三角形的一直角边长）
⑶利用对称将外壁的B点对称到“内壁”的B'点，再构建直角三角形，利用勾股定理求出AB'的长.
20．【答案】（1）
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的长为或1．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），，
垂直平分，
．
故答案为：；
（3）解：如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或1．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，借助辅助线构造全等三角形，将线段AF，EF，BE，围成一个直角三角形，即可写出线段AF，EF，BE之间的数量关系；
（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设，则，根据勾股定理构建方程求解即可．
21．【答案】（1）解：①；
②选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得
（2）解：①3；
证明：②结论；
，
（3）①；②，
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
（2）①根据题意，
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：；3；；，．
【分析】（1）①根据勾股定理的定义，写出即可；
②选择图1，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，然后再根据正方形和三角形的面积公式，代入数据即可证明；
（2）①在图4中，根据勾股定理，易得 ；在图5中，利用扇形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明；在图6中，根据等边三角形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明。
②观察图形可知，三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后再减去1个大半圆的面积，代入圆的面积公式，即可求解；
（3）①根据（1）（2），可知，最后再结合勾股定理，即可求解；
②作于点N，根据， ，易得 ，再根据， ，易证，可得，，同理可证，，进而即可求解。
（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
22．【答案】（1）24；10；26；7
（2）6；1
（3）11；60；61
（4）解：不正确，
理由：当，时，，序号为；
当，时，，序号为；
，，
序号从增加到时，的值减小，
他的猜想不正确．
【知识点】勾股数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）将m＝5，n＝1分别代入公式计算：
m2-n2=52-12=25-1=24
2mn=2×5×1=10
m2+n2=52+12=25+1=26
对应勾股数为（24，10，26）；
统计m小于5的所有组数m=2有1组，m=3有2组，m=4有3组，全部相加，1+2+3＝6，
m＝5时，n＝1是该m下第1组，序号计算为：6+1=7
故答案为：24；10；26；7.
(2)勾股数（35，12，37)，则m2-n2=35，m2+n2=37，2mn=12，
故2m2=35+37=72
解得：m＝6，n=1
故答案为：6：1
（3）序号为15的勾股数，逐层累加每组数量，确定序号15对应的m、n
m=2一共有1组勾股数
m=3一共有1+2=3组勾股数
m=4一共有3+3=6组勾股数
m=5一共有6+4=10组勾股数，
m=6一共有10+5=15组勾股数，
则序号11对应m=6，n=1
序号12对应m=6，n=2
序号13对应m=6，n=3
序号14对应m=6，n=4
序号15对应m=6，n=5
将m＝6，n=5代入公式计算勾股数：
m2-n2=62-52=36-25=11
2mn=2×6×5=60，
m2+n2=62+52=36
故答案为：11；60；61
【分析】（1）m＝5，n＝1分别代入公式，结合表格信息即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）求出序号15对应的m，n，再代入公式即可求出答案.
（4）求出序号为10，11的m2+n2，再比较大小即可求出答案.
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