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第一章 《勾股定理》基础卷-北师大版数学八上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1， 1， 1 B．3， 4， 5 C．3， 4， 6 D．2， 3， 4
2．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4
3．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　）
A．5 B．10 C． D．
4．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．a=2，b=3，c=4 D．（b+c）（b-c）=a2
5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．12 C．6 D．24
7．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在中，，，，则正方形的面积为（　　）
A．81 B．144 C．225 D．169
9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著．书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙 DE 的距离为2寸，点D，E与门槛AB 的距离都为1尺(1尺=10寸)，图2为图1放大后的平面示意图，则AB 的长为(　　)
A．49.5寸 B．50.5寸 C．99寸 D．101寸
10．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　）
A．25 B．36 C．49 D．64
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，在中，，，于点，且，则的长为__________．
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米.
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=8，AC=10，AC|的垂直平分线DE 分别交AB，AC 于D，E 两点，则 BD 的长为　 　．
14．现有一长为的梯子，架靠在建筑物的墙上，梯子底端离墙，则梯子到达建筑物的高度是　 　m．
15．如图， AD 是等腰△ABC的顶角平分线， 且AD=3， BC=8， 则AB 的长为　 　.
16．如图，点是正方形内一点，连接，且，以为斜边在下方作Rt，且，若，则正方形的面积为　 　．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．在中，，设，，．
（1）已知，，求c；
（2）已知，，求a．
18．如图， 在△ABC中， AB=AC．
（1）尺规作图：作BC边上的中线AD．(不写作法，保留作图痕迹)
（2） 若AB=13， BC=24， 求△ABC 的面积．
19．如图①是某品牌婴儿车，将其抽象出图②的结构示意图.根据安全标准需满足AB⊥BC，已知AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，请问：这个婴儿车是否符合安全标准，说明理由.
20． 如图，在△ABC中，点 D 在边BC上，连结AD，过点 D作 于点E，
求证：∠ADC=90°.
21．在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积．
22．如图，已知在中，，求的面积．
23．每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米．
（1）求云梯顶端与墙角的距离的长；
（2）现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米．
24．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．
（1）求的长；
（2）这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒 （结果精确到0.1）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：12+12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；
B：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意；
C：32+42≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
D：22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，故7，8，9不是勾股数，不符合题意；
B、，故1，1，2不是勾股数，不符合题意；
C、，故9，12，15是勾股数，符合题意；
D、，故2，3，4不是勾股数，不符合题意．
故答案为：C
【分析】本题考查勾股数的识别，勾股数需同时满足两个核心条件：一是三个数均为正整数，二是其中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时需对每个选项逐一验证，先判断是否为正整数，再通过计算两较小数的平方和与最大数的平方是否相等，来筛选出符合勾股数定义的选项。
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为： ＝10，
三角形的面积＝ ×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则 x 10＝24，
解得x＝4.8.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，可得∠C=90°，是直角三角形，错误；
B、∠A：∠B：∠C=1：3：2，可得∠C=90°，是直角三角形，错误；
C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D、∵(b+c)(b-c)=a2， ∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，错误；
故选：C.
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图：
结合条件和图中信息可知，
，
，
，
∴这棵树在折断之前的高度=AB+BC．
故答案为：A．
【分析】本题观察图形并结合图中信息“ 折断处离地面、 树的顶端离树根 ”，首先得出，然后根据勾股定理求出AB之后，原大树的高度是AB+BC，此时代入计算即可求得树折断之前的高度．
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设AB=a、BC=b、AC=c，则S1=a2、S2=b2、S3=c2，
在中，a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3，
∵，
∴，解得，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】本题依据正方形面积和勾股定理，首先得出S1+S2=S3，然后结合条件“ ”推出，最后再结合三角形的面积与正方形的面积列式计算求解即可．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形的面积等于其边长的平方，因此图中每个正方形的数值或字母 S，都对应着直角三角形某条边的平方。结合勾股定理分析：
A、根据勾股定理，若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，A不符合题意；
B、根据勾股定理，若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为4，则另一条直角边对应的面积，B符合题意；
C、若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，C不符合题意；
D、若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为，则另一条直角边对应的面积，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查勾股定理的几何意义，核心是利用“直角三角形中，以斜边为边长的正方形面积等于两直角边对应正方形面积之和”，对每个选项的面积关系进行验证判断。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为，所以正方形的面积为，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB2的值，进而根据正方形面积等于边长平方可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过D作DF⊥AB，EG⊥AB，
据题意得：AD=BE=AC=BC，DF=EG=10寸，DE=FG=2寸，CF=CG=1寸，
设AB=2x寸，则AD=BE=AC=BC=x寸，AF=BG=(x-1)寸，
由勾股定理知，AD2=AF2+DF2
即x2=(x-1)2+102，
化简得 2x=101
即AB=2x=101，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理列式求解AB的长.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积之和为，在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】在中，，根据勾股定理，即可得出．即正方形和正方形的面积和为25.
11．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在中，，，
由勾股定理可知，
，
∴，
同理，在中，由勾股定理可知，
，
，
代入得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】在Rt△BCD中，利用勾股定理算出CD的长，由线段和差及等量代换得AD=AC-CD=AB-CD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AC的长.
12．【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°，
∴AC=
∴AC+BC=3+4=7米．
故答案是：7．
【分析】利用勾股定理得AC=4，AC+BC=7.
13．【答案】.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=8，AC=10，
∴BC==6，
∵DE是 AC的垂直平分线 ，
∴AD=CD，
不妨设BD=a，则AD=CD=8-a，
在Rt△BCD中，，
即，
解得 a=，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理得BC的长，再根据垂直平分线的性质得AD=CD，最后在Rt△BCD利用勾股定理求出BD即可.
14．【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：由题意，构成的直角三角形的斜边长为，一直角边长为，
∴另一直角边长，
故梯子到达建筑物的高度是．
故答案为：4．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD 是等腰△ABC的顶角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD=4，
∴根据勾股定理知：AB==5.
故答案为：5.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”知BD的长，根据勾股定理知AB的长.
16．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：.
【分析】利用勾股定理依次求得AC2与AF2，再利用正方形的面积等于边长平方可得正方形ADEF面积.
17．【答案】（1）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
（2）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用勾股定理的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
（2）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
18．【答案】（1）解：作图方法不唯一．
方法1：作∠A的平分线．
方法2：作 BC的中垂线．
（2）解：∵AD是BC边上中线，AB=AC
∴AD⊥BC
在 Rt△ABD中，由勾股定理得
∴AD=5，
∴△ABC的面积
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形三线合一性质作图，可以作顶角平分线（方法1），也可以作底边的垂直平分线（方法2）；
(2)由勾股定理可求AD的长度，再利用三角形的面积公式计算即可 。
19．【答案】解：该车符合安全标准，
∵AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，
∴AB2+BC2=602+452=5625，
∵AC2=752=5625，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴AB⊥BC，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由勾股定理逆定理得AB⊥BC，即知符合安全标准.
20．【答案】证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°.
在 Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴
同理
∴AD2+CD2=80+20=100.
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠ADC=90°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 根据题意，通过勾股定理及其逆定理证明∠ADC为直角，已知DE⊥AC，可分别在Rt△ADE和Rt△CDE中计算AD2和CD2，再结合AC的长度，验证AD2 + CD2是否等于AC2，从而应用勾股定理逆定理得出结论.
21．【答案】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先由勾股定理求出的长，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据，结合三角形面积公式进行解答即可.
22．【答案】解：∵，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，再根据三角形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵在中，，，
∴由勾股定理得，
即，
解得：，
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
∵，
∴．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）在中，根据勾股定理建立方程，求解得出CO的长即可；
（2）在中， 根据勾股定理建立方程， 求解得出OB的长，然后根据AB=OB-OA可算出答案.
（1）解：∵在中，，，
∴由勾股定理得，
即，
解得：，
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
∵，
∴．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
24．【答案】（1）解：由题意可知，米，米，，
∴（米），
答：的长为16米．
（2）解：（米/秒），
答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）超速问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据速度=路程÷时间即可求出答案.
（1）解：由题意可知，米，米，，
∴（米），
答：的长为16米．
（2）解：（米/秒），
答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．
1 / 1第一章 《勾股定理》基础卷-北师大版数学八上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1， 1， 1 B．3， 4， 5 C．3， 4， 6 D．2， 3， 4
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：12+12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；
B：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意；
C：32+42≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
D：22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
2．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，故7，8，9不是勾股数，不符合题意；
B、，故1，1，2不是勾股数，不符合题意；
C、，故9，12，15是勾股数，符合题意；
D、，故2，3，4不是勾股数，不符合题意．
故答案为：C
【分析】本题考查勾股数的识别，勾股数需同时满足两个核心条件：一是三个数均为正整数，二是其中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时需对每个选项逐一验证，先判断是否为正整数，再通过计算两较小数的平方和与最大数的平方是否相等，来筛选出符合勾股数定义的选项。
3．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　）
A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为： ＝10，
三角形的面积＝ ×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则 x 10＝24，
解得x＝4.8.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可.
4．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．a=2，b=3，c=4 D．（b+c）（b-c）=a2
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，可得∠C=90°，是直角三角形，错误；
B、∠A：∠B：∠C=1：3：2，可得∠C=90°，是直角三角形，错误；
C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D、∵(b+c)(b-c)=a2， ∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，错误；
故选：C.
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可.
5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图：
结合条件和图中信息可知，
，
，
，
∴这棵树在折断之前的高度=AB+BC．
故答案为：A．
【分析】本题观察图形并结合图中信息“ 折断处离地面、 树的顶端离树根 ”，首先得出，然后根据勾股定理求出AB之后，原大树的高度是AB+BC，此时代入计算即可求得树折断之前的高度．
6．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．12 C．6 D．24
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设AB=a、BC=b、AC=c，则S1=a2、S2=b2、S3=c2，
在中，a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3，
∵，
∴，解得，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】本题依据正方形面积和勾股定理，首先得出S1+S2=S3，然后结合条件“ ”推出，最后再结合三角形的面积与正方形的面积列式计算求解即可．
7．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形的面积等于其边长的平方，因此图中每个正方形的数值或字母 S，都对应着直角三角形某条边的平方。结合勾股定理分析：
A、根据勾股定理，若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，A不符合题意；
B、根据勾股定理，若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为4，则另一条直角边对应的面积，B符合题意；
C、若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，C不符合题意；
D、若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为，则另一条直角边对应的面积，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查勾股定理的几何意义，核心是利用“直角三角形中，以斜边为边长的正方形面积等于两直角边对应正方形面积之和”，对每个选项的面积关系进行验证判断。
8．在中，，，，则正方形的面积为（　　）
A．81 B．144 C．225 D．169
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为，所以正方形的面积为，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB2的值，进而根据正方形面积等于边长平方可得出答案.
9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著．书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙 DE 的距离为2寸，点D，E与门槛AB 的距离都为1尺(1尺=10寸)，图2为图1放大后的平面示意图，则AB 的长为(　　)
A．49.5寸 B．50.5寸 C．99寸 D．101寸
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过D作DF⊥AB，EG⊥AB，
据题意得：AD=BE=AC=BC，DF=EG=10寸，DE=FG=2寸，CF=CG=1寸，
设AB=2x寸，则AD=BE=AC=BC=x寸，AF=BG=(x-1)寸，
由勾股定理知，AD2=AF2+DF2
即x2=(x-1)2+102，
化简得 2x=101
即AB=2x=101，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理列式求解AB的长.
10．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　）
A．25 B．36 C．49 D．64
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积之和为，在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】在中，，根据勾股定理，即可得出．即正方形和正方形的面积和为25.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，在中，，，于点，且，则的长为__________．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在中，，，
由勾股定理可知，
，
∴，
同理，在中，由勾股定理可知，
，
，
代入得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】在Rt△BCD中，利用勾股定理算出CD的长，由线段和差及等量代换得AD=AC-CD=AB-CD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AC的长.
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　米.
【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°，
∴AC=
∴AC+BC=3+4=7米．
故答案是：7．
【分析】利用勾股定理得AC=4，AC+BC=7.
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=8，AC=10，AC|的垂直平分线DE 分别交AB，AC 于D，E 两点，则 BD 的长为　 　．
【答案】.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=8，AC=10，
∴BC==6，
∵DE是 AC的垂直平分线 ，
∴AD=CD，
不妨设BD=a，则AD=CD=8-a，
在Rt△BCD中，，
即，
解得 a=，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理得BC的长，再根据垂直平分线的性质得AD=CD，最后在Rt△BCD利用勾股定理求出BD即可.
14．现有一长为的梯子，架靠在建筑物的墙上，梯子底端离墙，则梯子到达建筑物的高度是　 　m．
【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：由题意，构成的直角三角形的斜边长为，一直角边长为，
∴另一直角边长，
故梯子到达建筑物的高度是．
故答案为：4．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
15．如图， AD 是等腰△ABC的顶角平分线， 且AD=3， BC=8， 则AB 的长为　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD 是等腰△ABC的顶角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD=4，
∴根据勾股定理知：AB==5.
故答案为：5.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”知BD的长，根据勾股定理知AB的长.
16．如图，点是正方形内一点，连接，且，以为斜边在下方作Rt，且，若，则正方形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：.
【分析】利用勾股定理依次求得AC2与AF2，再利用正方形的面积等于边长平方可得正方形ADEF面积.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．在中，，设，，．
（1）已知，，求c；
（2）已知，，求a．
【答案】（1）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
（2）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用勾股定理的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
（2）解：在中，，
由勾股定理得，
因为，
所以．
18．如图， 在△ABC中， AB=AC．
（1）尺规作图：作BC边上的中线AD．(不写作法，保留作图痕迹)
（2） 若AB=13， BC=24， 求△ABC 的面积．
【答案】（1）解：作图方法不唯一．
方法1：作∠A的平分线．
方法2：作 BC的中垂线．
（2）解：∵AD是BC边上中线，AB=AC
∴AD⊥BC
在 Rt△ABD中，由勾股定理得
∴AD=5，
∴△ABC的面积
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形三线合一性质作图，可以作顶角平分线（方法1），也可以作底边的垂直平分线（方法2）；
(2)由勾股定理可求AD的长度，再利用三角形的面积公式计算即可 。
19．如图①是某品牌婴儿车，将其抽象出图②的结构示意图.根据安全标准需满足AB⊥BC，已知AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，请问：这个婴儿车是否符合安全标准，说明理由.
【答案】解：该车符合安全标准，
∵AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，
∴AB2+BC2=602+452=5625，
∵AC2=752=5625，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴AB⊥BC，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由勾股定理逆定理得AB⊥BC，即知符合安全标准.
20． 如图，在△ABC中，点 D 在边BC上，连结AD，过点 D作 于点E，
求证：∠ADC=90°.
【答案】证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°.
在 Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴
同理
∴AD2+CD2=80+20=100.
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠ADC=90°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 根据题意，通过勾股定理及其逆定理证明∠ADC为直角，已知DE⊥AC，可分别在Rt△ADE和Rt△CDE中计算AD2和CD2，再结合AC的长度，验证AD2 + CD2是否等于AC2，从而应用勾股定理逆定理得出结论.
21．在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积．
【答案】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先由勾股定理求出的长，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据，结合三角形面积公式进行解答即可.
22．如图，已知在中，，求的面积．
【答案】解：∵，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，再根据三角形面积即可求出答案.
23．每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米．
（1）求云梯顶端与墙角的距离的长；
（2）现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米．
【答案】（1）解：∵在中，，，
∴由勾股定理得，
即，
解得：，
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
∵，
∴．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）在中，根据勾股定理建立方程，求解得出CO的长即可；
（2）在中， 根据勾股定理建立方程， 求解得出OB的长，然后根据AB=OB-OA可算出答案.
（1）解：∵在中，，，
∴由勾股定理得，
即，
解得：，
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
∵，
∴．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
24．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．
（1）求的长；
（2）这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒 （结果精确到0.1）
【答案】（1）解：由题意可知，米，米，，
∴（米），
答：的长为16米．
（2）解：（米/秒），
答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）超速问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据速度=路程÷时间即可求出答案.
（1）解：由题意可知，米，米，，
∴（米），
答：的长为16米．
（2）解：（米/秒），
答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒．
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