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1.2 待定系数法求反比例函数解析式
一．选择题（共8小题）
1．如图，点A在反比例函数的图象上，且S△ABO＝6，则此反比例函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
2．已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个反比例函数的表达式是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
4．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
5．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
6．如图，在矩形OABC中，AB＝2BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，连接OB，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标是4，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若反比例函数的图象经过点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象经过（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
8．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数y的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比例函数的表达式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
二．填空题（共6小题）
9．若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 　 　 ．
10．如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　 　 ．
11．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 　 　 ．
12．如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为　 　 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为　 　 ．
14．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数y（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 　 　 ．
三．解答题（共4小题）
15．已知点（1，3）在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点（﹣3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小　 　 ．
16．如图，△ABC是直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OA＝4，已知点A在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，当AC＝CD时，求点C的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点F的坐标．
18．如图，A（4，3）是反比例函数y在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y的图象于点P．
（1）求反比例函数y的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：设反比例函数的解析式为，
∵点A在反比例函数的图象上，且S△ABO＝6，
∴，
∴|k|＝12，即k＝±12，
又∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，即k＝﹣12．
∴反比例函数的解析式是．
故选：C．
2．【解答】解：将x＝1，y＝﹣2代入解析式得，
解得k＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为．
故选：D．
3．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴tan30°，
∴（）2，
∵点A在反比例函数y上，
∴xy＝6，
∵AD×DOxy＝3，
∴S△BCOBC×COS△AOD＝1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y．
故选：C．
4．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y．
故选：A．
5．【解答】解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
过C作CE⊥OB于E，
则∠OCE＝30°，
∴OEOC＝1，CE，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数y的图象上，
∴，得k，
即y，
故选：B．
6．【解答】解：∵在矩形OABC中，AB＝2BC，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标是4，
∴D点横坐标为：2，AB＝OC＝4，BCAB＝2，
∴D点纵坐标为：1，
∴k＝xy＝1×2＝2．
故选：B．
7．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（m，3m），m≠0，
∴将x＝m，y＝3m代入反比例解析式得：3m，
∴k＝3m2＞0，
则反比例y图象过第一、三象限．
故选：A．
8．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，
设菱形的边长为a，
在Rt△CDO中，OD＝a cos60°a，CD＝a sin60°a，
则C（a，a），
点A向下平移2个单位的点为（a﹣a，a﹣2），即（a，a﹣2），
则，
解得．
故反比例函数解析式为y．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．【解答】解：设反比例函数的表达式为y，
∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），
∴k＝m2＝﹣2m，
解得m1＝﹣2，m2＝0（舍去），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为．
故答案为：．
10．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝3，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF＝EF，
∵BC＝2CD，
∴设CD＝m，BC＝2m，
∴B（3，2m），E（3+m，m），
设反比例函数的表达式为y，
∴3×2m＝（3+m） m，
解得m＝3或m＝0（不合题意舍去），
∴B（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴这个反比例函数的表达式是y，
故答案为：y．
11．【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵tan∠ABO3，
∴可以假设OB＝a，OA＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵点C在y的图象上，
∴2a2＝1，
同法可证△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
设经过点D的反比例函数的解析式为y，则有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数的解析式是y．
故答案为：y．
12．【解答】解：设A坐标为（x，y），
∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+5＝0+3，y+0＝0﹣3，
解得：x＝﹣2，y＝﹣3，即A（﹣2，﹣3），
设过点A的反比例解析式为y，
把A（﹣2，﹣3）代入得：k＝6，
则过点A的反比例函数解析式为y，
故答案为：y
13．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20，
∴反比例函数的解析式为y
故答案为y．
14．【解答】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b，则b2＝9，解得b＝6，
∵正方形的中心在原点O，
∴直线AB的解析式为：x＝3，
∵点P（3a，a）在直线AB上，
∴3a＝3，解得a＝1，
∴P（3，1），
∵点P在反比例函数y（k＞0）的图象上，
∴k＝3，
∴此反比例函数的解析式为：y．
解法二、
∵阴影部分的面积等于9，
∴小正方形的边长为3，
∴3a＝3，
∴a＝1，
∴P（3，1），
∵点P在反比例函数y（k＞0）的图象上，
∴k＝3，
∴此反比例函数的解析式为：y．
故答案为：y．
三．解答题（共4小题）
15．【解答】解：（1）因为点（1，3）在反比例函数的图象上，
所以k＝1×3＝3，
所以反比例函数的表达式为y；
（2）因为点（﹣3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，
所以a＝﹣1，b＝3，c＝1，
所以a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
16．【解答】解：（1）∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OA＝4，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）由（1）可知反比例函数的解析式为，
设，
∵AC＝CD，即点C是AD的中点，，点D在x轴上，
∴，
解得t＝4，
∴．
17．【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，
∴点C的坐标为C（8，4），
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为yx，
根据题意得方程组，
解此方程组得：或
∵点F在第一象限，
∴点F的坐标为F（6，）．
18．【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y，得：k＝12，
则反比例函数解析式为y；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4、AC＝3，
∴OA5，
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为yx，
由可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE＝2、PE＝1、PD＝2，
则△OAP的面积（2+6）×36×22×1＝5

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