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1.2 反比例函数的图象与性质
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k≠0）上有A，B两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，H为OB的中点，S△AHO＝6，则k的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16
2．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2满足（　　）
A．2y1+y2＝0 B．y1+2y2＝0 C．2y1﹣y2＝0 D．y1﹣2y2＝0
3．反比例函数的图象位于（　　）
A．第一，第三象限 B．第一，第四象限
C．第二，第三象限 D．第二，第四象限
4．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　）
A． B． C． D．12
6．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
7．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1
8．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）
A．2≤k B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k
二．填空题（共6小题）
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m），B（3，n）均在反比例函数y（k≠0）的图象上，且OA＝OB，则k的值为　 　 ．
10．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与反比例函数交点A的横坐标为1，当y1＞y2时，x的取值范围是　 　 ．
11．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　 ．
12．如图，是反比例函数y和y（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 　 　 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝　 　 ．
14．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为　 　 ．
三．解答题（共4小题）
15．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，4），B（2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若2≤y2≤6，求x的取值范围．
16．如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　 　 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PACS△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　 　 ．
17．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
18．已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：设B（x，y），其中x＜0，y＞0，则xy＝k，
由条件可知OB＝2OH，
∵BD⊥x轴，AC⊥x轴，
∴AC∥BD，
由图可知点H在线段AC上，
∴△OHC∽△OBD，
相似比为，
∴，
由条件可知，
∴，
∵点A在双曲线上，AC⊥x轴，
∴，
∵S△AHO＝S△AOC﹣S△HOC，
∴，
∴，
∴|k|＝16，
∵双曲线位于第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣16．
故选：D．
2．【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上，
∴﹣2y1＝y2，
∴2y1+y2＝0．
故选：A．
3．【解答】解：∵k＝﹣8＜0，
∴函数图象位于第二、第四象限．
故选：D．
4．【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
5．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴k，∴E（a，），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝abk （b）＝9，
∴k，
故选：C．
6．【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
7．【解答】解：∵反比例函数y中k＝﹣1＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限，
∴x2＜x3＜x1．
故选：D．
8．【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7，
，得x2﹣7x+k＝0
根据△≥0，得k
综上可知2≤k．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
9．【解答】解：∵点A（2，m），B（3，n）在反比例函数的图象上，
∴m，n，
∵OA＝OB，
∴OA2＝OB2，
∴22+m2＝32+n2
解得k＝±6，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
10．【解答】解：一次函数经过原点，故此时为正比例函数，点A，B关于原点对称，
∵A的横坐标为1，
∴B的横坐标为﹣1
∴由图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
11．【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），
∴点D的坐标为（﹣3，2），
把（﹣3，2）代入双曲线，
可得k＝﹣6，
即双曲线解析式为y，
∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），
∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y，
y＝1，
即点C坐标为（﹣6，1），
∴AC＝3，
又∵OB＝6，
∴S△AOCAC×OB＝9．
故答案为：9．
12．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴cdab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案为：4．
13．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
∴，
∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE∽△DCO，
∴
设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，
∴，
∴n
∴OE＝4n
∴A（，1）
∴k．
故答案为：．
14．【解答】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴．
∵双曲线的解析式是y，即xy＝k
∴S△BOD＝S△COE|k|，
∴S△AOB＝4S△COE＝2|k|，
由S△AOB﹣S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2kk＝18，
k＝12，
S△BOD＝S△COEk＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共4小题）
15．【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×4＝4，
所以反比例函数解析式为．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，n＝2，
所以点B坐标为（2，2）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为y1＝﹣2x+6；
（2）因为4＞0，
所以当x＞0时，y2随x的增大而减小．
因为当y2＝2时，x＝2，
当y2＝6时，x，
所以x的取值范围是．
16．【解答】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y1＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y1＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2得8，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y2；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD30，
∵S△PACS△AOB30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2yA＝24，即2OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．
17．【解答】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m＝6，3n＝6，
解得m＝1，n＝2，
所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
分别把A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+8；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，；
（3）如图，当x＝0时，y＝﹣2x+8＝8，则C点坐标为（0，8），
当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得x＝4，则D点坐标为（4，0），
所以S△AOB＝S△COD﹣S△COA﹣S△BOD
4×88×14×2
＝8．
18．【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，
过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）

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