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2.1 一元二次方程的概念
一．选择题（共10小题）
1．把一元二次方程（x+2）2＝x化为一般形式，正确的是（　　）
A．x2+3x+2＝0 B．x2+5x+4＝0 C．x2+3x+4＝0 D．x2﹣x+4＝0
2．若方程x|m﹣1|+3x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．3
3．关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7
4．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
5．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有一根为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝2
6．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0的一个根是x＝0，则m的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．0
7．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
8．如果方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
9．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
10．方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
11．若（k﹣1）x|k+1|+3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为　 　 ．
12．若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的解，则2a+b﹣2026＝　 　 ．
13．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ．
14．已知关于x的方程是一元二次方程，则m＝　 　 ．
15．方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值为　 　 ．
三．解答题（共4小题）
16．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
17．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
19．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2﹣x﹣2＝0；②x2+x+2＝0；③x2﹣2x＝4；④﹣x2+2x+4＝0；⑤x2﹣2x﹣40．
（2）方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：原方程展开左边得x2+4x+4＝x，
移项得x2+4x﹣x+4＝0，
合并同类项得x2+3x+4＝0．
故选：C．
2．【解答】解：∵方程x|m﹣1|+3x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝±2．
当m﹣1＝2时，解得：m＝3，
当m﹣1＝﹣2时，解得m＝﹣1，
综上所述，m的值为﹣1或3．
故选：C．
3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣7＝0的二次项是x2，一次项是﹣6x，常数项是﹣7，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，﹣6，﹣7．
故选：D．
4．【解答】解：由方程x（x+2）＝5（x﹣2），得
x2﹣3x+10＝0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选：A．
5．【解答】解：把x＝﹣2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a﹣2b+c＝0，
所以方程必有一根为x＝﹣2．
故选：A．
6．【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0得：m2﹣9＝0，
解得：m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3，
故选：C．
7．【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2ax﹣a2＝0，得：
4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，
∴a﹣1＝0，或a+4＝0，
解得：a＝1或﹣4，
故选：C．
8．【解答】解：由一元二次方程的定义可知，
解得m＝﹣3．
故选：C．
9．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b＝0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0，
∴a﹣b＝1．
故选：A．
10．【解答】解：∵方程x2+ax+1＝0和x2﹣x﹣a＝0有一个公共根，
两方程相减得（a+1）x+a+1＝0且a+1≠0，
解得x＝﹣1，
当x＝﹣1时，a＝2．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：由条件可知|k+1|＝2，且k﹣1≠0，
解得：k+1＝2或k+1＝﹣2，k≠1，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：∵x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的解，
∴4a+2b﹣8＝0，
∴4a+2b＝8，
∴2a+b＝4，
∴2a+b﹣2026＝4﹣2026＝﹣2022．
故答案为：﹣2022．
13．【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2026a+1＝0．
∴a2﹣2026a＝﹣1，a2＝2026a﹣1，a2+1＝2026a．
∴
＝a（a2﹣2026a）a
＝﹣2026．
故答案为：﹣2026．
14．【解答】解：由题意可得m2﹣m﹣4＝2，且m﹣3≠0，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．【解答】解：2x﹣4＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入方程x2+mx+2＝0得：
4+2m+2＝0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1，
答：m＝1时，此方程是一元一次方程；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，
解得：m≠±1．
一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．
17．【解答】解：∵a2﹣8a+20＝（a﹣4）2+4
又∵（a﹣4）2≥0，
∴a2﹣8a+20≠0，
∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
18．【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
19．【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式．
（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x＝2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）．
答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）

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