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2.4 用一元二次方程解决问题（第1课时：面积问题、平均增长率问题）
一．选择题（共10小题）
1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为60步，面积是864平方步，问长比宽多几步？若设长为x步，根据题意可列方程是（　　）
A．（60﹣x）x＝864 B．
C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864
2．近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．304.42（1+x）2＝75.39 B．75.39（1+x）2＝304.42
C．304.42（1﹣x）2＝75.39 D．304.42（1﹣2x）＝75.39
3．在研究森林木材存量变化时，某林区原有木材总量为5000立方米．由于自然损耗与合理采伐，木材总量逐年按相同的减少率下降．经过2年后，木材总量变为4050立方米．设年平均减少率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．5000（1﹣x）2＝4050 B．5000（1+x）2＝4050
C．4050（1+x）2＝5000 D．4050（1﹣x）2＝5000
4．清晨，清远英德英西峰林薄雾缭绕、群峰叠翠，田园村落与溪流相映成趣，宛如一幅天然山水画卷．设计师为宣传英德文旅特色，准备给这幅英西峰林实景风景画四周安装宽度相等的空白画框（如图），制作成矩形装饰工艺品．该工艺品整体长100cm，宽60cm，中间英西峰林风景画的面积为5000cm2．设空白画框的宽度为xcm，则下列方程正确的是（　　）
A．（100﹣2x）（60﹣2x）＝5000
B．（100﹣x）（60﹣x）＝5000
C．（100﹣2x）（60﹣x）＝5000
D．100×60﹣x2＝5000
5．如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为36cm2，设AE的长为xcm，若AE＝BF，则下列方程正确的是（　　）
A．（10﹣2x）2＝100﹣36 B．
C．4×（10﹣2x）x+2x2＝36 D．100﹣2x2＝36×2
6．《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门广高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和长竿各是多少尺？如果设门的宽、高和长竿其中一个为x尺，则下列方程不正确的是（　　）
A．（x+2）2+x2＝（x+4）2 B．（x﹣4）2+x2＝（x+2）2
C．x2+（x﹣2）2＝（x+2）2 D．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2
7．三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（　　）
A．10% B．11% C．12% D．21%
8．已知a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．以下结论：①若三角形为等边三角形，则t＝2；②若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；③若k＝1，，c＝1，则5＜t＜11；④若k＝1，，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为6．其中，正确的结论有（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
9．深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．7000（1+2x）＝8470
B．7000（1+x）2＝8470
C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470
D．7000×2（1+x）＝8470
10．如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长3.5m，宽2.5m的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为8m2．设粘贴区宽度为xm，则可列方程（　　）
A．（3.5+2x）（2.5+2x）＝8 B．（3.5﹣2x）（2.5﹣2x）＝8
C．（3.5+x）（2.5﹣x）＝8 D．（3.5﹣x）（2.5+x）＝8
二．填空题（共5小题）
11．生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为x，则可列方程为　 　 ．
12．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　 米．
13．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　 　 队参加比赛．
14．如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y＝2，则x的值等于　 　 ．
15．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 　 s后，P，Q两点之间相距25cm．
三．解答题（共4小题）
16．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
17．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
18．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
19．已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：由题意可得，
（60﹣x）x＝864，
故选：A．
2．【解答】解：由题意得：304.42（1﹣x）2＝75.39，
故选：C．
3．【解答】解：根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050．
故选：A．
4．【解答】解：由题意得：（100﹣2x）（60﹣2x）＝5000，
故选：A．
5．【解答】解：设AE的长为xcm，则EF的长为（10﹣2x）cm，
根据题意得：102﹣4（10﹣2x） （10﹣2x）＝36，
即102﹣（10﹣2x）2＝36，
整理得：（10﹣2x）2＝100﹣36，
故选：A．
6．【解答】解：若设门的宽度为x尺，则长竿为（x+4）尺，门的高为（x+2）尺，
由勾股定理得：（x+2）2+x2＝（x+4）2，故选项A不符合题意；
若设长竿为x尺，则门的宽度为（x﹣4）尺，门的高为（x﹣2）尺，
由勾股定理得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，故选项D不符合题意，选项B符合题意；
若设门高为x尺，则门的宽度为（x﹣2）尺，长竿为（x+2）尺，
由勾股定理得：x2+（x﹣2）2＝（x+2）2，故选项C不符合题意；
故选：B．
7．【解答】解：设2023年到2025年的年平均增长率为x，
∵2023年旅游总收入为100亿元，经过两年增长后2025年总收入为121亿元，
∴可列方程为100（1+x）2＝121，
两边同除以100得（1+x）2＝1.21，
∵增长率为正数，
∴1+x＝1.1，
解得x＝0.1＝10%，
即年平均增长率为10%，
故选：A．
8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴，，
∴t＝1+1＝2，故结论①正确；
∵k＝2，t＝1，
∴，
∴，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故结论②正确；
∵k＝1，c＝1，
∴，
∵，
∴，
根据三角形三边关系列不等式组：
，
∵c＝1，，
∴，恒成立，
∴，解得b＜6，
∴，解得b＞2，
∴2＜b＜6，
∵，t随b的增大而增大，
∴，
∴5＜t＜11，故结论③正确．
∵a，b，c为连续整数，a＜b＜c，
∴设a＝n，b＝n+1，c＝n+2（n为正整数），
∵k＝1，
∴，
∵，且三角形三边满足a+b＞c，
∴，
解2n+1＞n+2，得n＞1，
解，
∵n+2＞0，
∴3（2n+1）≤5（n+2），
∴6n+3≤5n+10，
∴n≤7，
∴1＜n≤7，
∵n为正整数，
∴n＝2，3，4，5，6，7，共6个取值，
∴满足条件的三角形个数为6，
∴结论④正确．
综上，①②③④全部正确，
故选：D．
9．【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则：2025年平均每公顷产量为7000（1+x） （1+x）＝7000（1+x）2kg，
又∵2025年平均每公顷产量为8470kg，
∴可列方程为7000（1+x）2＝8470．
故选：B．
10．【解答】解：由题意得：（3.5﹣2x）（2.5﹣2x）＝8，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：根据题意得：300（1+x）2＝507．
故答案为：300（1+x）2＝507．
12．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
13．【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：45，
整理，得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
14．【解答】解：∵三角形相似对应边成比例．
∴，
∵y＝2．
∴x2﹣2x﹣4＝0
解得：x＝1（舍去），x1．
故答案为：1．
15．【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案为：10．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
17．【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
（5﹣x）×2x＝6
整理得：x2﹣5x+6＝0
解得：x＝2或x＝3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，
5t2﹣10t＝0，
t（5t﹣10）＝0，
t1＝0（舍弃），t2＝2，
∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
（5﹣x）×2x＝8
整理得：x2﹣5x+8＝0
Δ＝25﹣32＝﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
18．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴Δ＝0，即m2﹣4（）＝0，
整理得：（m﹣1）2＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2﹣x0，
解得：x1＝x2＝0.5，
故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB＝2代入原方程得，m＝2.5，
把m＝2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1＝0，解得x1＝2，x2＝0.5，
∴C ABCD＝2×（2+0.5）＝5

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