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2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
一．选择题（共10小题）
1．已知a，b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个根，则的值为（　　）
A．4 B．0 C．﹣4 D．
2．把方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n，则的值是（　　）
A．10 B．2 C．﹣8 D．﹣16
3．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣8＝0的一个根是4，那么它的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
5．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　）
A．﹣4 B．8 C．6 D．0
6．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
7．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（　　）
A．﹣13 B．12 C．14 D．15
8．设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x12+x22的值是（　　）
A．19 B．25 C．31 D．30
9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．2x1＝0
C．x1+x2＝2 D．x1 x2＝2
二．填空题（共5小题）
11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，则的最小值是　 　 ．
12．已知一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，则的值为 　 　 ．
13．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　 ．
14．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　 　 ．
15．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝1，求实数m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1 x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
18．已知关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0．
（1）求证：n＜0；
（2）试用k的代数式表示x1；
（3）当n＝﹣3时，求k的值．
19．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，求的值．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程中，按上述定义 　 　 （填序号）是“邻根方程”．
①x2+x＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+3x+2＝0．
（2）若（x﹣2）（x+n）＝0是“邻根方程”，求n的值．
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）为“邻根方程”，求出a，b，c应满足的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：由根与系数的关系可得：a+b＝﹣2，ab＝﹣2，
∴，
将a+b＝﹣2，ab＝﹣2代入得：．
故选：C．
2．【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n，
∴m+n＝4，mn＝﹣12，
∴．
故选：A．
3．【解答】解：设方程的另一个根为x2，
∵关于x的一元二次方程2x2+mx﹣8＝0的一个根是4，
∴4x2
则x2＝﹣1．
故选：B．
4．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
5．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2
∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12，
∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4
∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4，
故选：A．
6．【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无实数根．
∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，
即所有实数根的和3．
故选：D．
7．【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1＝0的实数根，
∴2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，
∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，
∴α+β，αβ，
∴2α2+3αβ+5β＝53×（）+1＝12．
故选：B．
8．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25+6＝31．
故选：C．
9．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x22，x1 x21．
x12﹣x1+x2＝x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2＝1+x1+x2＝1+2＝3．
故选：D．
10．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+t＝0的两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×t≥0，
解得，
由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1x2＝t，
∴，
∵﹣2＜0，
∴随t的增大而减小，
∴当t取最大值时，取得最小值，
代入得，最小值为．
故答案为：．
12．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2，
所以4．
故答案为：4．
13．【解答】解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴10．
∴1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m2．
∴m+12+1＝3，
故答案为：3．
15．【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根；
∴α+β＝﹣2m﹣3，α β＝m2；
∴1；
∴m2﹣2m﹣3＝0；
解得m＝3或m＝﹣1；
∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根；
∴Δ＝（2m+3）2﹣4×1×m2＝12m+9＞0；
∴m；
∴m＝﹣1不合题意舍去；
∴m＝3．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（1）由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根，
所以Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，
解得m；
（2）因为方程的两实数根分别为x1，x2，
所以．
因为（x1+1）（x2+1）＝1，
则x1x2+x1+x2＝0，
所以m2﹣1﹣2m+1＝0，
解得m＝0或2．
因为，
所以m＝0．
17．【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0，
∴k．
∴当k时，原方程有两个实数根．
（2）假设存在实数k使得0成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴．
由0，
得0．
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有当k＝1时，上式才能成立．
又∵由（1）知k，
∴不存在实数k使得0成立．
18．【解答】证明：（1）∵关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝k2﹣4（k2+n）＝﹣3k2﹣4n＞0，
∴nk2．
又﹣k2≤0，
∴n＜0．
解：（2）∵（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，x1+x2＝k，
∴（x1+x1+x2）2﹣8（x1+x1+x2）+15＝0
∴（x1+k）2﹣8（x1+k）+15＝0
∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]＝0
∴x1+k＝3或x1+k＝5，
∴x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．
（3）∵nk2，n＝﹣3，
∴k2＜4，即：﹣2＜k＜2．
原方程化为：x2﹣kx+k2﹣3＝0，
把x1＝3﹣k代入，得到k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2（不合题意），
把x2＝5﹣k代入，得到3k2﹣15k+22＝0，Δ＝﹣39＜0，所以此时k不存在．
∴k＝1．
19．【解答】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴a+b＝1，ab＝﹣1，
∴3．
20．【解答】解：（1）解方程x2+x＝0得x1＝0，x2＝﹣1，
∵0﹣（﹣1）＝1，
∴方程x2+x＝0为“邻根方程”．
解方程x2﹣2x+1＝0得x1＝x2＝1，
∵1﹣1＝0，
∴方程x2﹣2x+1＝0不是“邻根方程”．
解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∵（﹣1）﹣（﹣2）＝1，
∴方程x2+3x+2＝0为“邻根方程”．
故答案为：①③；
（2）（x﹣2）（x+n）＝0，
x﹣2＝0或x+n＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣n，
∵（x﹣2）（x+n）＝0是“邻根方程”，
∴2﹣（﹣n）＝1或﹣n﹣2＝1，
解得n＝﹣1或n＝﹣3；
（3）设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个分别为t，t+1，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵t+t+1，t（t+1），
∴t，
∴（1），
整理得b2﹣4ac＝a2，
即a，b，c应满足的数量关系为b2﹣4ac＝a2

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