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2.2.3 一元二次方程的解法 —— 公式法（含根的判别式 Δ）
一．选择题（共10小题）
1．下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2+2x+2＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2+2x﹣1＝0
2．关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣2＝0的实数根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．实数根的个数与k的取值有关
D．没有实数根
3．关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
5．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
6．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
9．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
10．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）
A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8
二．填空题（共5小题）
11．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个根，则k的值为　 　 ．
12．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　 　 （填序号）．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为　 　 ．
14．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围为　 　 ．
15．用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　 　 ．
三．解答题（共4小题）
16．关于x的方程x2﹣（m+6）x+5m+5＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围．
17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
18．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、∵a＝1，b＝0，c＝1，∴Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数根，不符合题意；
B、∵a＝1，b＝2，c＝2，∴Δ＝22﹣4×1×2＝4﹣8＝﹣4＜0，方程没有实数根，不符合题意；
C、∵a＝1，b＝2，c＝1，∴Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D、∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：a＝1，b＝k，c＝k﹣2，
计算判别式得：
Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ＝（k﹣2）2+4＞0恒成立，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．【解答】解：由条件可知根的判别式Δ＝32﹣4×1×m＞0，
∴9﹣4m＞0，
∴m
故选：C．
4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k且k≠0．
故选：C．
5．【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
6．【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
7．【解答】解：①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根．
如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0，
因此①错误；
②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1）
把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2）
把（2）式加（1）式×2得到：6a+3c＝0，
即：2a+c＝0，故正确；
③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，
则它的Δ＝﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若b＝2a+c则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0故正确．
②③④都正确，
故选：C．
8．【解答】解：∵Δ＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
9．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
10．【解答】解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4k×6＝0，
解得k＝3，
∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，
∴两腰之和为4，
∴△ABC的周长为4+3＝7，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：当等腰三角形的底边为3时，
∵另两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个根，
∴Δ＝0，即（﹣10）2﹣4k＝0，
解得k＝25，
此时方程为x2﹣10x+25＝0，解得x1＝x2＝5，
当等腰三角形的腰为3时，x＝3是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的一个根，
∴9﹣30+k＝0，
解得k＝21，
此时方程为x2﹣10x+21＝0，
解得x1＝7，x2＝3，
∵3+3＜7，
∴此时不能构成三角形，
综上所述，k的值为25；
故答案为：25．
12．【解答】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故答案为：①③．
13．【解答】解：由题意可知：Δ＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0，
∴m2+2m，
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）
＝﹣m2﹣2m+4
4
，
故答案为：
14．【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，
∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有Δ＝（﹣1）2﹣4（a﹣1）＝5﹣4a≥0，解得a，
∴a的取值范围是a且a≠1．
故答案为：a且a≠1．
15．【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：关于x的方程x2﹣（m+6）x+5m+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣（m+6），c＝5m+5，
∴Δ＝[﹣（m+6）]2﹣4（5m+5）＝（m﹣4）2≥0，
∴不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程x2﹣（m+6）x+5m+5＝0可化为x2﹣（m+6）x+5（m+1）＝0，
（x﹣5）[x﹣（m+1）]＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣（m+1）＝0，
∴x1＝5，x2＝m+1，
∵方程有一个根小于3，
∴m+1＜3，
解得m＜2．
17．【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，
解得：x，a，
即a，方程的另一个根为；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
18．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下，
∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵当△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，
∴2ax2+2ax＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
19．【解答】（1）证明：∵mx2﹣（3m+2）x+6＝0是关于x的一元二次方程，
∴m≠0，
∵Δ＝[﹣（3m+2）]2﹣4m×6＝9m2+12m+4﹣24m＝9m2﹣12m+4＝（3m﹣2）2≥0
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：∵（x﹣3）（mx﹣2）＝0
∴x1＝3，x2．
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，
∴m＝1或 m＝2

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