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2.2.2 一元二次方程的解法 —— 因式分解法
一．选择题（共10小题）
1．关于x的一元二次方程x（x+1）=x的解为（　　）
A．x1=-1，x2=0 B．x1=x2=0 C．x1=x2=-1 D．D．x1=-1，x2=1
2．一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
3．使分式的值等于零的x是（　　）
A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣6
4．方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
5．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（　　）
A．1 B．1或2 C．2 D．2或3
6．若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　）
A．k≠1 B．k＜0 C．k＜﹣1 D．k＞0
8．我们解一元二次方程3x2﹣6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x﹣2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．这种解法体现的数学思想是（　　）
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
9．若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（　　）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
10．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）
A．x＝1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1，x2
D．x1＝﹣1，x2＝2
二．填空题（共5小题）
11．已知关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，则a的值为 　 　 ．
12．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长为 　 　 ．
13．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为 　 　 ．
14．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m＝　 　 ．
15．已知x2+xy+y＝14①，y2+xy+x＝28②，则x+y的值为
　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
（3）2x2+x＝3．
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
17．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．
18．解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．
19．（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
20．已知关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：由题知，
x（x+1）=x,
x（x+1）-x=0，
x2=0，
所以x1=x2=0．
故选：B
2．【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为26，
∴菱形的面积6×8＝24．
故选：B．
3．【解答】解：∵0
∴x2﹣5x﹣6＝0
即（x﹣6）（x+1）＝0
∴x＝6或﹣1
又x+1≠0
∴x＝6
故选：A．
4．【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故选：C．
5．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x﹣2”相对，面“★”与面“x+1”相对．
因为相对两个面上的数相同，所以x2＝3x﹣2，解得x＝1或x＝2，
又因为不相对两个面上的数值不相同，当x＝2时，∵x+2＝4，3x﹣2＝4，
∴3x﹣2＝x+2，不符合题意，
∴x只能为1，即★＝x+1＝2．
故选：C．
6．【解答】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
7．【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，一根大于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
故选：B．
8．【解答】解：我们解一元二次方程3x2﹣6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）＝0，
从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x﹣2＝0，
进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选：A．
9．【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
10．【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵（x﹣5）（x﹣a）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣a＝0，
解得x1＝5，x2＝a，
∵关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，
∴a＝1．
故答案为：1．
12．【解答】解：x2﹣13x+40＝0，
（x﹣5）（x﹣8）＝0，
所以x1＝5，x2＝8，
而三角形的两边长分别是3和4，
所以三角形第三边的长为5，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
13．【解答】解：x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．
故答案为15．
14．【解答】解：把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1＝2中得m2﹣2m﹣1＝2
移项得m2﹣2m﹣3＝0
因式分解得（m﹣3）（m+1）＝0
解得m＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
15．【解答】解：①+②得，x2+2xy+y2+x+y＝42，
∴（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，
∴（x+y+7）（x+y﹣6）＝0，
∴x+y＝﹣7或x+y＝6，
故答案为：﹣7或6．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴3（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（3）∵2x2+x＝3，
∴（2x+3）（x﹣1）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1，x2＝1；
（4）∵4（x+2）2﹣（3x﹣1）2＝0，
∴（2x+4+3x﹣1）（2x+4﹣3x+1）＝0，
∴5x+3＝0或﹣x+5＝0，
∴x1，x2＝5．
17．【解答】解：（1）不是，理由如下：
∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣4．
∵5﹣（﹣4）＝9≠2，
∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．
（2）∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m．
又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，
∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2，
解得：m＝0或m＝4．
18．【解答】解：整理方程得
（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．
（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，
[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，
x1，x2；
（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，
当a＝0时，x＝0；
当a＝1时，x＝2．
19．【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边2，
当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边，
∴第三边的长为2或．
20．【解答】解：原方程可化为：[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x1①，x2②．
由①得k，由②得k，
∴，
整理得x1x2﹣2x1+3x2＝0，
有（x1+3）（x2﹣2）＝﹣6．
∵x1、x2均为整数，
∴．
故x1＝﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，3．
又k6，
将x1＝﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，3分别代入，得
k＝7，，，，，15，3

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