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第3章 一次方程与方程组
3.3　一元一次方程的应用
第1课时　等积变形与行程问题
沪科版 七年级 数学（上）
导入新课
1．解一元一次方程的一般步骤有哪些？
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
去分母
5位教师和一群学生一起去公园，教师按全票的票价是每人7元，学生只收半价．如果买门票共花费206.50元，那么学生有多少人？
解：设有学生 x人，由题意得：
5×7＋×7x＝206.50，
解得x＝49.
答：学生有49人．
探究新知
知识模块一　等积变形问题
例
1
如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再
从剩下的长方形纸片上剪去
一张宽5cm的长方形纸条．
如果两次剪下的长方形纸条
面积正好相等，那么原正方
形的边长为多少
4
5
（单位：cm）
等量关系
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
设正方形的边长是 x cm，完成下表：
宽 长 面积
图形1
图形2
4
5
（单位：cm）
4x
5(x-4)
4
x
4x
5
x-4
5(x-4)
4
5
（单位：cm）
解：设正方形的边长是 x cm，根据题意，得
4x = 5(x-4).
解方程，得x=20.
答：原正方形的边长为20cm.
4x
5(x-4)
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
形积变化中的等量关系
①形状发生了变化，体积/面积不变. 其相等关系是：
变化前图形的体积/面积=变化后图形的体积/面积
②形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是：
变化前图形的周长=变化后图形的周长
③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即相等关系．
典例精析
典例：一个圆柱形水桶，底面半径为11 cm，高25 cm，将满桶的水倒入底面长30 cm，宽20 cm的长方体容器，此长方体容器的高至少为多少才不会有水溢出？(π取3.14，结果精确到0.1 cm)
解：设长方体容器的高为x cm.根据题意，得30×20x＝25π×112.
解方程，得x＝≈15.8.
答：长方体容器的高至少为15.8 cm才不会有水溢出．
仿例1：如图，一个瓶子的容积为1 L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm(如图)．现把溶液全部倒在一个底面直径为8 cm的圆柱形杯子里．
(1)求瓶内溶液的体积；
解：设瓶内溶液的体积为x L，则空余部分的体积为x L.
根据题意，得x＋x＝1.
解方程，得x＝0.8.
答：瓶内溶液的体积为0.8 L.
(2)圆柱形杯子溶液的高度是多少？(结果保留π)
(2)设圆柱形杯子溶液的高度为h cm.
由题意，得π×(2(8))2h＝0.8×1 000.
解得h＝.
答：圆柱形杯子溶液的高度是cm.
仿例2：用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2 m，求两个等长铁丝的长度，并通过计算比较说明谁的面积大(π≈3).
解：设圆的半径为x m，则正方形的边长为(x＋2)m.
根据题意，得4(x＋2)＝2πx.
解方程，得x＝4.
因此，圆的半径为4 m，正方形的边长为6 m，则圆的面积为π×42≈48(m2)，正方形的面积为62＝36(m2)，所以圆的面积比较大．
知识模块二　行程问题
例
2
某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表：
总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1
8.2 10 3
已知张老师在补给站休息了10min，用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离.
8.2km
起点
补给站
终点
跑步距离+登山距离=总距离
8.2km
起点
补给站
终点
x km
8.2-x km
跑步时间+登山时间=总用时-休息时间
解：设补给站离起点x km. 根据题意，得
注意单位换算!
解方程，得x=6.
答：补给站与起点的距离为6km.
交流：运用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎样的？
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案
典例精析
典例：为适应经济发展，马鞍山和合肥将新建一条“巢马城际”铁路线路，预计2026年正式通车，通车后高铁相比客车的平均速度可增加140 km/h，通车后合肥到马鞍山150 km的路程只需行驶20 min，求通车前客车的平均速度．设通车前客车的
平均速度为x km/h，则可列方程为
_________________．
(x＋140)＝150
仿例1：一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h．从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3 h．已知水流的速度是3 km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，根据题意列方程为_________________．
2(x＋3)＝3(x－3)
仿例2：小强参加3 000 m长跑，他以6 m/s的速度跑了一段路程后，又以4 m/s的速度跑完了剩余的路程，一共花了10 min.他以6 m/s的速度跑了多少米？设他以6 m/s的速度跑了x m，则列出的方程是
______________________．
＝10×60
仿例3：A，B两地相距46 km，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15 km，1 h后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40 km.若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？
解：设返回途中与甲相遇的地点距B地x km.
根据题意，得－＝1.
解方程，得x＝10.
答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10 km.
知识模块三　列一元一次方程解应用题的步骤
⑴弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数；
⑵分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）；
⑶根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；
⑷解这个方程，求出未知数的值；
⑸检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）.
课堂小结
用一元一次方程解决有关实际问题的步骤：
实际问题
分析问题
找出等量关系
设出未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
随堂检测
1.列方程，解下列各题：
（1）一种小麦磨成面粉，出粉率为80%（即20%成为麸子）．为了得到4500 kg面粉，至少需要多少小麦
解：设至少需要x kg小麦.
根据题意，得x·80％ = 4500.
解方程，得x=5625.
答：至少需要 5625 kg小麦.
（2）甲厂有钢材432t，乙厂有钢材96t．如果每天从甲厂运出20t，乙厂运出4t，几天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍
解：设x天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
根据题意，得432-20x=2(96-4x).
解方程，得x=20.
答：20天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
（3）甲、乙两地相距180km．一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15km．另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？
解：设x h后两人相遇.
根据题意，得x(15+15×3)=180.
解方程，得x=3.
答：3h后两人相遇.
2.有一根合金圆柱，底面半径为1 dm，高为64 cm，若将其锻造成长方体工件，使长方体工件的长为20π cm，高为32 cm，则长方体工件的宽是多少
解：设长方体工件的宽是x cm.
1 dm=10 cm，
根据题意，得π×102×64=20π×32x，
解得x=10.
答：长方体工件的宽是10cm.
3. 甲、乙两人从相距200km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行60km，乙骑自行车每小时行20km. 如果乙先行2h，那么甲出发多长时间后两人相遇
解：设甲出发x h后两人相遇.
根据题意，得60x+20(x+2)=200，解得x=2.
答：甲出发2h后两人相遇.

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