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第3章 一次方程与方程组
*3.6　三元一次方程组及其解法
第2课时　三元一次方程组的应用
沪科版 七年级 数学（上）
导入新课
①设出题中的两个未知数；
②找出题中的两个等量关系；
③根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；
④解这个方程组，求出未知数的值；
⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案．
列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
2．树上、地上各有一群鸽子，若从地上飞一只到树上，则地上的鸽子是整个鸽群数的13，若从树上飞一只到地上，则树上和地上的鸽子数就一样多，问树上、地上各有几只鸽子？
解：设树上有x只鸽子，地上有y只鸽子．
根据题意，得
解方程组，得
答：树上有7只鸽子，地上有5只鸽子．
探究新知
知识模块　三元一次方程组的应用
例
2
某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份，请根据题意列出方程组；
解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得
5x + 5y + 10z = 35， ①
20x + 10y + 10z = 70， ②
5x + 15y + 5z = 35. ③
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（2）由①得 x = 7-y-2z. ④
将④代入②③，得
y + 3z = 7， ⑤
2y – z = 0. ⑥
解这个方程组，得
y = 1，
z = 2.
将 代入④，得 x = 2.
y = 1，
z = 2
所以
x = 2，
y = 1，
z = 2.
答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份.
例
3
已知甲、乙两数之和为 3,乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为 7,求这三个数.
解 设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得
x + y = 3， ①
y + z = 6， ②
x + z = 7. ③
①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④
④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1.
答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5.
典例精析
典例：已知甲、乙、丙三人各有一笔钱，其中甲的钱是乙的两倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有______元．
39
仿例1：一个三位数，个位、百位上的数字和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14.求这个三位数.
解：设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z.
根据题意，得　
解得
答：这个三位数为275.
仿例2：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现有这三种小虫18只，共有118条腿和20对翅膀，每种小虫各有多少只？
解：设蜘蛛有x只，蜻蜓有y只，蝉有z只．
根据题意，得
解得
答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只．
仿例3：某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表．
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷,蔬菜z公顷．
根据题意，得
解得
答：应该种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷．
课堂小结
①设出题中的三个未知数；
②找出题中的三个等量关系；
③根据等量关系列出需要的代数式，进而列出三个方程，并组成方程组；
④解这个方程组，求出未知数的值；
⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案．
列三元一次方程组解应用题的一般步骤:
随堂检测
1. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部.
解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部.
根据题意，得
解方程组，得
答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙型号手机 4 部.
2. 某饮食方案要求每天食谱中包含 100 单位的脂肪、200 单位的蛋白质、400 单位的淀粉. 现有三种食品 A，B，C，每份(50 g)含脂肪、蛋白质和淀粉量如下表.
食品 脂肪/单位 蛋白质/单位 淀粉/单位
A 2 7 17
B 2 4 7
C 10 16 30
试用 A，B，C 三种食品配餐以满足方案要求.
食品 脂肪/单位 蛋白质/单位 淀粉/单位
A 2 7 17
B 2 4 7
C 10 16 30
解: 设每天食谱中 A，B，C 三种食品的份数分别为 x，y，z.
根据题意，得
答:每天食谱中 A 种食品 8 份，B 种食品 12 份，C 种食品 6 份.
解方程组，得

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