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(共27张PPT)
沪科版 七年级 数学（上）
第4章 几何图形
4.3 线段的长短
第2课时 线段的有关计算
情景导入
如图，从A村到B村有三条道路可供选择，你会选第几条道路？说出你的理由．
走第二条路．因为这条路是直路，感觉它最近．
图中告诉我们什么样的路最近呢？你是怎样得出结论的？
探究新知
知识模块一　线段的中点
如图，点C在线段AB上，且AC=CB，
此时，AC=CB=AB 或 AB=2AC=2CB.
A
B
C
像这样把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点.
注意:（1）线段的中点一定在直线上，并且只有一个.
（2）若点C是线段AB的中点，则AC=CB；但反过来，若AC=CB , 点C不一定是AB的中点，如图所示.
线段的三等分点：如图，若点C，D将线段AB分成相等的三条线段AC，CD，DB，则点C，D叫作线段AB的三等分点，这时AC=CD=DB=AB（类似地，还有四等分点、五等分点等）.
知识拓展
典例精析
例1 已知：线段 a，b (a > b)，如图. 作一条线段 AB，使得： (1) AB = 2a；(2) AB = a - b.
作法
(1) 作射线 AM. 在射线 AM 上顺次截取 AC = CB = a. 线段 AB = 2a 即为所求作的线段.
(2) 作线段 AN = a.
在线段 NA. 上截取 NB = b.
则线段 AB = a - b 即为所求作的线段.
A
a
b
N
B
a
b
A
a
a
C
B
M
知识要点
如图，点 C 把线段 AB 分成相等的两条线段 AC 与 BC，点 C 叫作线段 AB 的中点.
A
a
a
C
B
几何语言：因为 C 是线段 AB 的中点，
所以 AC = BC =AB (或 AB = 2AC = 2BC).
反之也成立：因为 AC = BC =AB (或 AB = 2AC = 2BC)，
所以 C 是线段 AB 的中点.
拓展探究
思考 那么什么叫作三等分点？四等分点呢？
三等分点
如图，若点 M、N 是线段 AB 的三等分点，
则 AM = = = ，反过来也成立．
MN
NB
AB
1
3
四等分点
如图，若点 M、N、P 是线段 AB 的四等分点，
则 AM = = = = ，反过来也成立．
MN
NP
AB
1
4
PB
例2　已知：线段 AB = 4，延长 AB 至点 C，使 AC = 11.点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点. 求 DE 的长.
解：如图，因为 AB＝4 ，D 为 AB 的中点，
所以 AD = 2.
又因为 AC = 11，点 E 为 AC 的中点，
所以 AE = 5.5.
故 DE = AE - AD = 5.5 - 2 = 3.5.
E
C
B
D
A
典例精析
典例：如图，把线段AB三等分，等分点分别为M，N，点C为NB的中点，且CM＝6 Cm，则AB＝____cm.
12
A
M
N
C
B
仿例1：如图，已知AB＝8 cm，BD＝3 cm，点C为AB的中点，则线段CD的长为____cm.
1
A
C
D
B
仿例2：如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点．若AB＝8 cm，BC＝2 cm，求MC的长．
解：AC＝AB－BC＝8－2＝6(cm).
因为点M是AC的中点，所以MC＝AC＝×6＝3(cm).
A
C
M
B
仿例3：如图，已知AB＝16 cm，点C是AB上一点，且AC＝10 cm，点D是AC的中点，点E是BC的中点，求线段DE的长．
A
C
D
B
E
解：因为点D是AC的中点，AC＝10 cm，所以DC＝AC＝×10＝5(cm).
又因为AB＝16 cm，
所以BC＝AB－AC＝16－10＝6(cm).
因为点E是BC的中点，所以CE＝BC＝×6＝3(cm)，
所以DE＝DC＋CE＝5＋3＝8(cm).
A
C
D
B
E
针对训练
变式 如图，在直线上有 A，B，C 三点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果 O 是线段 AC 的中点，求线段 OB 的长度.
解：因为 AB＝4 cm，BC＝3 cm，
所以 AC＝AB＋BC＝7 cm.
因为点 O 是线段 AC 的中点，
所以 OC＝AC＝3.5 cm.
所以 OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm).
知识模块二　线段的基本事实
如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.


A
B
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短.
连接两点的线段的长度，叫作
这两点的距离.
简单说成：两点之间，线段最短.


A
B
归纳总结
注意:
（1）两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成线段AB;
（2）两点间的连线是指以两个点为端点的任意线，包
括线段、折线和曲线，有无数条.
典例精析
典例：如图，在一条河的两岸有李庄和赵庄，两村协议，共同投资在河旁修建一个引水站向两村引水．为了省钱，需要使引水站到两村的距离和最小，请你确定引水站的位置，并说明理由．
李庄
赵庄
解：连接李庄、赵庄，交小河于一点P，此点即为引水站的位置．理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
李庄
赵庄
P
仿例1：如图把旁边的曲河道放直，其数学知识是_______________________________．
仿例2：如图，点C分AB为2∶3，点D分AB为1∶4.若AB为5 cm，则AC＝____cm，BD＝____cm，CD＝____cm.
两点之间的所有连线中，线段最短
2
4
1
针对训练
两点之间，线段最短
1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.
.
B
A
.
课堂小结
线段长短的比较与运算
线段长短的比较
基本事实
线段的和差
度量法
叠合法
中点
两点间的距离
基本作图
随堂检测
1.如图，已知线段AB=6 cm，C是AB的中点，D是AC的中点，求线段BD的长.
A
B
C
D
解:因为AB=6 cm，C是AB的中点，
所以AC=BC=AB=3 cm.
因为D是AC的中点，所以AD=CD=AC=1.5 cm.
所以BD=BC+CD=3+1.5=4.5 （ cm ）.
2. 已知，如图，B，C 两点把线段 AD 分 成 2 : 5 : 3 三部分，M 为 AD 的中点，BM = 6，求 CM 和 AD 的长.
D
A
C
B
M
AD = 10x = 20.
解：设 AB = 2x，BC = 5x，CD = 3x，
则 AD = AB + BC + CD = 10x.
因为 M 是 AD 的中点，
所以 AM = MD = 5x，
所以 BM = AM - AB = 3x.
因为 BM = 6，
即 3x = 6，所以 x = 2.
故 CM = MD - CD = 2x = 4，
D
A
C
B
M

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