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沪科版 七年级 数学（上）
第4章 几何图形
4.5 角的比较与补（余）角
第1课时 角的比较与角平分线
旧知回顾
1．角有哪两种定义方式？
如图．定义1：角可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形，其中点O叫作角的顶点，射线OA，OB叫作角的边．
定义2：∠AOB也可以看成射线OA绕着它的端点O旋转到OB的位置后形成的图形．
2．如图，怎样比较图形中线段AB，BC，CA的大小？怎样比较∠A，∠B，∠C呢？
答：比较线段大小用度量法、叠合法；比较角的大小也同样如此．
探究新知
知识模块一　角的大小比较
阅读教材P157～P158的内容，回答下列问题：
问题1：如何比较两个角的大小？
问题2：用叠合法时应注意什么问题？
比较角的大小的方法：(1)度量法：用量角器分别量出角的度数，然后比较数值的大小；
(2)叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一边的同侧．
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1.度量法
55°
40°
1
2
因为 55°＞40°，所以∠1＞∠2.
2.叠合法
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
2. 若射线 O'C 与射线 OA 重合，那么∠AOB___∠DO'C.
1. 若射线 O'C 在∠AOB 内部，那∠AOB__∠DO'C.
3. 若射线 O'C 在∠AOB 外部，那么∠AOB___∠DO'C.
=
>
<
O
A
B
议一议
1. 角的大小与两边画出部分的长短是否相关？
2. 一个 30° 的角用能放大 3 倍的放大镜观看，看到的角度有何变化？
角的大小与两边画出部分的长短无关.
不变.
结论：角的两边张开越大，角就越大，与所画边的长短无关.
注意：使用叠合法时应注意“两个重合”，即两个角的顶点重合、一条边重合；还要注意“一个同侧”，即两个角的另一条边落在重合边的同侧.
归纳总结
位置 图形 ∠ABC与∠DEF的关系
EF和BC重合 ∠DEF=∠ABC
EF落在∠ABC的内部 ∠DEF＜∠ABC
EF落在∠ABC的外部 ∠DEF＞∠ABC
B(E)
A(D)
C(F)
B(E)
A(D)
C
F
B(E)
A(D)
F
C
思考：图中共有几个角？它们之间有什么关系？
图中共有 个角.
3
典例精析
∠AOC是∠AOB与∠BOC的____. 记作∠AOC=_____________，∠AOB是∠AOC与∠COB的____，记作∠AOB=___________. 类似地，∠COB=______________.
和
∠AOB+∠BOC
差
∠AOC-∠COB
∠AOC-∠AOB
解：（1）由图可以看出
例1 如图，求解下列问题：
（1）比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；
（2）将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.
O
D
C
B
A
∠AOC＞∠BOC，（OB在∠AOC内）
∠BOD＞∠COD.（OC在∠BOD内）
（2）∠AOC= ∠AOB +∠BOC，
例1 如图，求解下列问题：
（1）比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；
（2）将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.
O
D
C
B
A
∠AOC=∠AOD-∠DOC.
探究新知
知识模块二　角的平分线及计算
问题：什么是角的平分线？
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线．
探究：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？
A
B
∠AOB
∠BOC
3个
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
O
C
∠AOC
∠AOB = ∠AOC - ∠BOC
∠BOC = ∠AOC - ∠AOB
共顶点，可加减.
典例精析
例1 如图，求解下列问题：
(1) 比较∠AOC 与∠BOC，∠BOD 与∠COD 的大小；
(2) 将∠AOC 写成两个角的和
与两个角的差的式．
O
A
B
C
D
解：(1) 由图可看出：∠AOC＞∠BOC，
(OB 在∠AOC 内)；∠BOD＞∠COD (OC 在∠BOD 内).
(2) ∠AOC =∠AOB +∠BOC；
∠AOC =∠AOD -∠DOC.
O
A
B
C
D
例2 根据下图，回答下列问题：
(1) 试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC 的大小，并找出其中的锐角、直角、钝角、平角；
(2) 在图中找出角的三个等量关系．
[解析] ∠AOB 是平角，∠AOC 是钝角，∠AOD 是直角，∠AOE 是锐角，于是就可找到这几个角的大小关系．
解：(1) 由图可知，∠AOB 是平角，∠AOC 是钝角，∠AOD 是直角，∠AOE 是锐角，所以∠AOB＞∠AOC＞∠AOD＞∠AOE.
(2) 等量关系：
∠COE＝∠EOD＋∠COD，
∠AOB＝2∠AOD＝∠AOE∠BOE，
∠DOB＝∠COD＋∠BOC 等．
注意：角的平分线满足的三个条件：
（1）从角的顶点引出的射线；
（2）在角的内部；
（3）将已知角平分.
归纳总结
知识拓展
把一个角分成三个相等的角的两条射线，是这个角的三等分线. 如图，若OB，OC是∠AOD的三等分线，则∠1=∠2=∠3= ∠AOD，∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3.
新知探究
探究：你能在∠AOC 内找一条射线 OB，使∠AOB =∠BOC 吗？
A
B
O
C
对折法
度量法
此时 ∠AOC = 2∠AOB = 2________，
∠AOB =∠BOC = _______.
∠BOC
∠AOC
知识要点
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.
A
B
O
C
几何语言：
角平分线中的一个相反关系
如图，因为 OC 是∠AOB 的平分线，
所以 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC，
∠AOC =∠BOC =∠AOB.
类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？
A
B
O
C
D
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，所以
∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例3 如图，点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数．
[解析] 首先应确定∠MON 的转化问题：
∠MON＝∠MOC＋∠CON，
在有关角的计算中，几何图形与等式的性质同时使用，问题会迎刃而解．
再结合角平分线的定义，
易得到∠MOC＋∠CON＝∠AOB.
解：因为点 A，O，B 在一条直线上，所以∠AOB＝180°.
因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°.
又因为 OM，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线，
所以∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC.
所以∠MOC＋∠CON＝ (∠AOC＋∠BOC)
＝ ×180°＝90°.
又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON，
所以∠MON＝90°.
典例：如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC.若∠COD＝25°，则∠AOB＝________．
典例精析
100°
仿例1：如图，已知∠AOC＝90°，∠COB＝24°，OD平分∠AOB，则∠COD的大小是_____．
仿例2：如图，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∠AOC＝40°，则∠DOE
的度数为____．
33°
20°
小试牛刀
1.如图，∠AOB＝90°，OE，OC 分别是∠AOD，∠DOB 的平分线，则∠EOC＝___°.
45
2. 如图，以AB为一条边的角有哪些？将这些角按从大到小的顺序用“>”号连接起来.
解： ∠BAC， ∠BAD， ∠BAE；
∠BAE＞∠BAD＞∠BAC.
A
B
C
D
E
【教材P158 练习 第1题】
3. 只用一副三角板，画出15°，75°的角.
解： 如图所示
15°
75°
【教材P158 练习 第2题】
3. 如图，∠ABC= 60°， ∠ABD = 145°，BE平分∠ABC. 求∠DBE的度数.
A
B
E
C
D
解：因为BE平分∠ABC， ∠ABC=60°，
所以∠EBC=∠ABC=30°.
因为∠ABD=145°，
所以∠CBD=∠ABD-∠ABC=85°.
所以∠DBE=∠EBC+∠CBD= 115°.
【教材P158 练习 第3题】
课堂小结
角的比较与
运算
比较
运算
从一个角的 出发，把这个角分成两个 的角的射线
角平分线
相同
顶点
概念
表示
如图，因为 OB 平分 ∠AOC，
所以______=______=_____，
或∠AOC = 2______ = 2_______
∠AOB
∠COB
∠AOC
∠AOB
∠COB
随堂检测
1. 比较大小：60°25′ 60.25° (填 “>”，“<” 或 “=”) .
<
2. 计算：
(1) 180° - 98°24′30″
解：(1) 原式 = 179°59′60″ - 98°24′30″
= 81°35′30″.
(2) 原式 = 248°96′68″ = 249°37′8″.
(2) 62°24′17″×4
3. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，那么∠BOD 是多少度？
E
A
O
C
B
D
解：因为 OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，
所以∠AOB =∠BOC，∠COD =∠DOE.
因为∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，
所以∠BOC = 50°，∠COD = 30°.
所以∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 50° + 30° = 80°.
E
A
O
C
B
D

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