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沪科版 七年级 数学（上）
第4章 几何图形
4.5 角的比较与补（余）角
第2课时 补角和余角
旧知回顾
如图，∠AOB＝90°，若∠1＝55°，你能计算出∠2与∠BOC的度数吗？
解：∠2＝90°－55°＝35°，∠BOC＝180°－90°＝90°.
探究新知
知识模块一　余角和补角的概念
阅读教材P159的内容，回答下列问题：
问题：互补、互余的概念是什么？
归纳：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补．
如图①，∠1＋∠2＝180°，∠1叫作∠2的补角，∠2也叫作∠1的补角，∠1与∠2互补．
如图②，∠α＋∠β＝90°，∠α
叫作∠β的余角，∠β也叫作∠α
的余角，∠α与∠β互余．
归纳：如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余．
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的补角，或 ∠2是 ∠1 的补角，或 ∠1 和 ∠2 互补.
几何语言表示为：
若∠1+∠2 = 180°，
则∠1 与∠2 互为补角
1
2
知识要点
典例精析
典例1：若∠α与∠β互为余角，则( )
A．∠α＋∠β＝180°B．∠α－∠β＝180°
C．∠α－∠β＝90°D．∠α＋∠β＝90°
D
典例2：下列角的图示中，可能与30°角互补的是( )
D
仿例1：已知∠A的补角为60°，则∠A＝____．
仿例2：已知∠α＝25°30′，则它的余角为_________．
120°
64°30′
变例：一个角的补角比它的余角的3倍小20°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x°.
根据题意，得180－ x ＝3(90－ x)－20.
解得x ＝35.
答：这个角的度数为35°.
特别提醒:
（1）余(补)角指的是两个角之间的数量关系,与位置无关，且它们是成对出现的,单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角.
（2）若两个角互余,则这两个角一定都是锐角；若两个角互补,则这两个角可能都是直角,也可能是一个锐角、一个钝角.
小试牛刀
1. 图中给出的各角，哪些互为余角？
15°
24°
66°
75°
46.2°
43.8°
2. 图中给出的各角，哪些互为补角？
10°
30°
60°
80°
100°
120°
150°
170°
观察思考
∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°(0＜x＜90)
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
(90－x)°
(180－x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.
90°
5）如果∠1 = 30°，∠2 = 25°，∠3 = 35°，那么∠1、∠2、∠3 这三个角互为余角. （ ）
3）同一个角的补角比它的余角大 90 度. （ ）
4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.
（ ）
2）一个角的补角必为钝角. （ ）
1）一个角的余角必为锐角. （ ）
×
√
×
√
×
小试牛刀
探究新知
知识模块二　余角和补角的性质
(1) 如图 (a)， ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3 有什么大小关系
由于∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°
所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1.
因此 ∠2 =∠3 (等量代换) .
同角(或等角)的补角相等.
1
2
3
(a)
(2) 如图 (b)，∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，那么∠5 与∠6 有什么大小关系
由于∠4 +∠5 = 90°，∠4 +∠6 = 90°，
所以∠5 = 9° - ∠4，∠6 = 90° - ∠4.
因此 ∠5 =∠6 (等量代换) .
同角(或等角)的余角相等.
4
5
6
(b)
典例精析
例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数.
解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角，
所以∠BOD = 90° -∠AOB
= 90° - 29.66° = 60.34°.
又因为 OC 是∠BOD 的平分线，
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
29.66°
60.34°
所以∠COD = ∠BOD=×60.34°=30.17°.
30.17°
例2 已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个
角的度数.
解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°，
补角为 (180 - x)°.
根据题意，得90 - x =(180 - x)，
解得 x = 45.
因此，这个角为 45°.
典例1：若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1
＝50°，则∠3等于( )
A．50°B．130°C．40°D．140°
典例2：已知∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4.依据是_________
________．
A
等角的余
角相等
仿例1：如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是( )
A．∠1＝∠3 B．∠1＝180°－∠3
C．∠1＝90°＋∠3 D．∠3＝90°＋∠1
C
仿例2：下列结论正确的个数为( )
①互余且相等的两个角是45°；②锐角的补角是钝角；③锐角没有余角，钝角没有补角；④两个钝角不可能互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
C
仿例3：如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
O
B
D
C
E
A
解：(1)∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，
其补角为180°－∠AOB＝180°－120°＝60°；
O
B
D
C
E
A
(2)因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，
∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝×50°＝25°.
∠DOE与∠AOB互补．
理由：∠DOE＝∠DOC＋∠COE
＝35°＋25°＝60°，
∠DOE＋∠AOB＝60°＋120°＝180°，
故∠DOE与∠AOB互补．
性质 数学语言
补角 同角（或等角）的补角相等 (1)如果∠1+∠2= 180°, ∠1+∠3= 180°，那么∠2=∠3;
(2)如果∠1+∠2=180°, ∠3+∠4=180°，且∠1=∠3, 那么∠2=∠4
余角 同角（或等角）的余角相等 (1)如果∠1+∠2= 90°，∠1+∠3= 90°，那么∠2=∠3;
(2)如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4
归纳总结
针对训练
1. 填表：
∠α
∠α的余角
∠α的补角
n°（0＜n＜90）
120°
45°
50°
40°
130°
45°
135°
60°
30°
（ 90-n ）°
（ 180-n ） °
【教材P160 练习 第1题】
2. 如图，点O为直线 AB上一点，OC是∠AOB的平分线，OD在∠COB内部. 看图填空：
∠AOD的补角是__________，
∠COD的余角是__________，
∠BOD的补角是__________，
∠AOC的补角是__________.
O
A
B
C
D
∠BOD
∠BOD
∠AOD
∠BOC
【教材P160 练习 第2题】
3. （1）如果∠α的余角是∠α的2倍，求∠α的度数；
（2）如果∠1的补角是∠1的3倍，求∠1的度数.
解:（1）根据题意，得90°-∠α=2∠α，
所以∠α=30°.
【教材P160 练习 第3题】
（2）根据题意，得180°-∠1=3∠1 ，
所以∠1=45°.
4. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = .
5. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 .
155°
分析：1. ∠2 = 90° - ∠1
2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α.
126°
= 90° - 65° = 25°
∠3 = 180° - ∠2
= 180° - 25° = 155°
α + 1.5α = 90°
解得 α = 36°，1.5α = 54°.
方程思想
课堂小结
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
2
1
4
3
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90° -∠2
∠3 +∠4 = 180°
或∠3 = 180° -∠4
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
随堂检测
1.下列说法不正确的是（ ）
A.任意两直角互补
B.任意两锐角互余
C.同角或等角的补角相等
D.同角或等角的余角相等
B
2. 下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
D
3. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（ 　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
4. 如图，点O在直线PQ上，OA是∠QOB的平分线，OC是∠POB的平分线，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∠AOB与∠POC互余
B. ∠POC与∠QOA互余
C. ∠POC与∠QOB互补
D. ∠AOP与∠AOB互补
C
5. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°，则∠C 的度数是_______.
150°
6. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
62°
28°

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