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沪科版 七年级 数学（上）
第4章 几何图形
4.5 角的比较与补（余）角
第3课时 用尺规作角
旧知回顾
1．什么是角的平分线？
答：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线．
2．什么样的两个角互补？什么样的两个角互余？
答：两个角的和等于一个平角，这两个角互为补角，简称互补；两个角的和等于一个直角，这两个角互为余角，简称互余．
3．补(余)角的性质是什么？
答：同角(或等角)的补角相等；同角(或等角)的余角相等．
探究新知
知识模块一　用尺规作一个角等于已知角
图形的绘制，图案的设计，时常需要画线段和角.
之前我们已经学会了用尺规作线段，那我们这节课来学一下如何用尺规作角吧！
例3 如图，已知∠M，画∠AOB，使得∠AOB =∠M.
M
O
A
B
解 用量角器量得∠M = 110.
画∠AOB = 110°，∠AOB 即为符合题意的角[如右图].
1.度量法
如图，张开圆规，当圆规两足末端的距离为a
时，圆规的张角为∠α. 将圆规闭合后重新张开，如何调整圆规使张角仍为∠α？
调整圆规，使圆规两足末端的距离为a ，这时圆规张角仍为∠α.
操作：
基于上面的发现，
尺规作图 作一个角等于已知角.
已知：∠AOB.
求作：∠DEF，使得∠DEF=∠AOB.
A
O
B
作法：（1）作射线EG.
A
O
B
E
G
P
Q
D
（2）在∠AOB上以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q；
（3）以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D.
A
O
B
E
G
P
Q
D
（4）以点D 为圆心，线段PQ长为半径画弧，与（3）中所画弧交于点F；
F
（5）作射线EF. ∠DEF即为所求作的角.
合作探究
如图，张开圆规，当圆规两足末墙的距离为 α 时，圆规的张角为∠α，将圆规闭合后重新张开，如何调整圆规使张角仍为∠α？
α
a
需要确保在闭合圆规后重新张开时，两脚间的距离与之前的距离相同.
例4 作一个角等于已知角
已知： 如图，∠AOB.
求作： ∠A'O'B' 使∠A'O'B' =∠AOB.
B
O
A
想一想：如果没有三角尺和量角器，只用尺规作图能画出一个角等于已知角吗？
B
O
A
O′
A′
(2) 以点 O 为圆心，
任意长为半径画弧，
交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
(3) 以点 O' 为圆心，
C
D
同样(OC)长为半径画弧，
C′
(4) 以点 C' 为圆心，
CD 长为半径画弧，
D′
(5) 过点 D' 作射线 O'B'.
B′
A′
O′
B′
∠A'O'B' 就是所求的角.
作 法 示 范
交 O'A' 于点 C'；
交前面的弧于点 D'；
(1) 作射线 O'A'；
已知：∠AOB.
利用尺规作：∠A'O'B'，
使∠A'O'B' = 2∠AOB.
B
O
A
作法一：
A'
B'
∠A'O'B'为所求.
B
O
A
作法二：
C
D
∠AOB +∠AOB′
E
B'
O'
A
∠A'O'B'为所求.
C
C'
(O')
独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹.
典例精析
典例：已知：∠AOB(如图①)．
求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.
B
O
A
图①
作法：(1)作射线EG.
B
O
A
图①
E
G
图②
(2)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q.
(3)以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D.
(4)以点D为圆心，线段PQ长为半径画弧，与(3)中所画弧交于点F.
(5)作射线EF.∠DEF即为所求作的角．
Q
P
F
D
典例精析
知识模块二　用尺规作角的和、差、倍数
典例：如图，已知∠α和∠β(∠α>∠β)，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.
α
β
解：作∠AOC＝∠α，以O为顶点，OC为一边，在∠AOC内作∠BOC＝∠β，则∠AOB＝∠α－∠β即为所求作的角．
O
C
α
B
A
β
α－β
仿例1：如图，已知∠α，∠β.
求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β.
解：作∠AOC＝∠α.以O为顶点，OC为一边在∠AOC外作∠COB＝∠β，则∠AOB＝∠α＋∠β即为所求作的角．
α
β
O
B
C
A
α
β
α+β
仿例2：如图，已知锐角∠AOB，求作∠β，使得∠β＝180°－2∠AOB.
解：作∠A′O′B′＝∠AOB，以O′为顶点，O′B′为一边在∠A′O′B′外作∠B′O′C′＝∠AOB，反向延长射线O′A′到D′，∠β为图中的∠C′O′D′即为所求作的角．
B
O
A
D′
O′
A′
C′
B′
小试牛刀
1.如图，已知∠α，用尺规作∠AOB=2∠α.
α
【教材P162 练习 第1题】
解:如图所示.
作法:（1）作射线OD.
（2）以∠α的顶点M为圆心,任意长为半径画弧,分别与∠α的两边交于点P,Q.
（3）以点О为圆心,线段MP长为半径画弧,交射线OD于点A.
（4）以点A为圆心,线段PQ长为半径画弧,与（3）中所画弧交于点E.
（5）以点E为圆心,线段PQ长为半径画弧,交（3）中所画弧于点B（不在OD上）.
（6）作射线OB.∠AOB=2∠α即为所求作的角.
2.参考例4，作给定两角的差.
α
β
【教材P162 练习 第2题】
解：如图所示.已知∠α，∠β,求作∠α-∠β.
作法:①作∠AOC= ∠α.
②以点О为角的顶点,OC为一边,在∠AOC的内部作∠COB=∠β,则∠AOB= ∠α-∠β即为所求作的角.
课堂小结
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
2
1
4
3
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90° -∠2
∠3 +∠4 = 180°
或∠3 = 180° -∠4
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
随堂检测
1. 如图，利用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点О为圆心、适当长为半径作弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么作图痕迹②的作法是（ ）
A. 以点F为圆心、OE长为半径作弧
B. 以点F为圆心、EF长为半径作弧
C. 以点E为圆心、OE长为半径作弧
D. 以点E为圆心、EF长为半径作弧
D
2. 如图①，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作图在∠CAD内部作∠EBC，使∠EBC=∠A.
解:如图②，以点B为顶点，BC为一边在∠CAD内部作∠EBC=∠A. ∠EBC即为所求作的角.
3. 如图①，已知∠α，∠β，求作一个角使它等于2∠α-∠β（保留作图痕迹，不写作法）.
解: 如图，∠AOC即为所求作的2∠α-∠β.

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