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(共38张PPT)
沪科版 七年级 数学（上）
第4章 几何图形
第4章小结与复习
知识框架
几何图形
立体图形
多面体、旋转体
两点间的距离
平面图形
线段的大小、比较、运算和画法
基本事实
直线、射线
线段
角
余角和补角
角的大小、比较、运算和画法
要点梳理
一、几何图形
1. 几何图形都是由点、线、面、体组成的.
2. 点、线、面、体之间的联系
(1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；
(2) 点动成线、线动成面、面动成体.
(2)平面图形上的各点都在同一个平面内，如
3. 立体图形与平面图形
(1)立体图形上的点不都在同一个平面内，如
二、直线、射线、线段
1. 有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
2. 直线、射线、线段的区别
类型 端点个数 延伸性 能否度量
线段
射线
直线
2 个
不能延伸
可度量
1 个
向一个方向
无限延伸
不可度量
无端点
向两个方向
无限延伸
不可度量
4. 有关线段的基本事实
两点之间线段最短
3. 线段的中点
应用格式：
A
C
B
因为 C 是线段 AB 的中点，
所以 AC ＝ BC ＝AB，
AB ＝ 2AC ＝ 2BC.
5. 线段长短的比较方法
度量法或叠合法
三、角
1. 角的定义
(1) 从一个点出发的两条射线组成的图形，叫做角.
(2) 角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
2. 角的度量
度、分、秒的互化
1°＝60′，1′＝60″，
3. 角的大小的比较方法
度量法或叠合法
1″＝()′，1′＝()°
4. 角的平分线
O
B
A
C
应用格式：
5. 余角与补角的性质
同角(等角)的补角相等
同角(等角)的与角相等
因为 OC 是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，
∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC.
探究新知
知识模块一　线段、射线、直线
例1 如图所示，直线 l，线段 a，射线 OA，能相交的几组图形是 ( )
(1)
(4) (5) (6)
(3)
(2)
A. (1)(3)(4) B. (1)(4)(5) C. (1)(4)(6) D. (2)(3)(5)
(1)
(4) (5) (6)
(3)
(2)
B
典例1：下列图形中，能比较长短的是(　　)
A．两条直线　　　B．两条射线
C．一条直线和一条射线 D．两条线段
典例2：已知点C是线段AB上的点，则下列条件中，不能确定点C是AB中点的是(　　)
A．AC＝BC B．AC＝AB
C．AB＝2BC D．AC＋BC＝AB
D
D
典例精析
典例3：如图，AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，AB的中点M与CD的中点N的距离是3 cm，则BC＝_________．
1.5cm
典例4：如图，已知AD＝6 cm，点B是AC的中点，CD＝AC，求AB，CD的长．
解：因为AD＝AC＋CD
＝AC＋AC＝AC＝6 cm，
所以AC＝cm.
因为点B是AC的中点，所以AB＝AC＝×＝(cm)，CD＝AC＝×＝(cm).
典例5：已知线段AB＝10 cm，直线AB上有一点C，且BC＝4 cm，点M是线段AC的中点，求AM的长．
解：如答图①，点C在线段AB延长线上．
因为AC＝AB＋BC＝10＋4＝14(cm)，点M是AC的中点，
所以AM＝AC＝×14＝7(cm).
A
M
B
C
答图①
典例5：已知线段AB＝10 cm，直线AB上有一点C，且BC＝4 cm，点M是线段AC的中点，求AM的长．
如答图②，点C在线段AB上．
因为AC＝AB－BC＝10－4＝6(cm)，
点M是AC的中点，
所以AM＝AC＝×6＝3(cm).
综上所述，AM的长为7 cm或3 cm.
A
M
C
B
答图②
针对训练
解析：此题相当于一条线段上有 3 个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4 + 3 + 2 + 1 = 10；有多少种车票是要考虑顺序的，则有 10×2 = 20.
1. 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有______种不同的票价 (来回票价一样)，需准备______种车票.
10
20
探究新知
知识模块二　角的比较及计算
例2 点 C 在线段 AB 所在的直线上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点.
(1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段 MN 的长；
A M C N B
解：因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，
所以 MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm).
所以 CM＝AC＝4 (cm)，CN＝BC＝3 (cm).
(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm，
其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明
理由；
A M C N B
理由：同(1)可得 CM ＝AC，CN ＝BC，
所以 MN ＝ CM＋CN ＝AC＋BC
＝(AC＋BC) ＝a (cm).
猜想：MN =a cm.
(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC = b cm，
M，N 分别为 AC，BC 的中点，你能猜想 MN 的长
度吗？请画出图形，并说明理由.
MN = MC－NC =AC－BC
= (AC－BC) =b (cm)．
猜想：MN =b cm.
理由：根据题意画出图形，由图可得
A M C N B
2. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB = 12 cm，BC =4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线 段 MN 的长度.
A M C N B
图①
所以 BM =AB =×12 = 6 (cm)，
解：如图①，当 C 在线段 AB 上时，
因为 M，N 分别是 AB，BC 的中点，
所以 MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm).
BN =BC =×4 = 2 (cm).
方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识.
C
A
M
N
B
图②
所以 BM =AB =×12 = 6 (cm)，
BN =BC =×4 = 2 (cm)
如图②，当 C 在线段 AB 外时，
因为 M，N 分别是 AB，BC 的中点，
所以 MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm).
典例精析
典例1：下列关于平角和周角的说法中，正确的是(　　)
A．平角是一条直线　
B．周角是一条射线
C．平角的两条边在同一条直线上　
D．一条射线组成360°的角
C
典例2：将两块直角三角尺的直角顶点重合为如右图的位置．若∠AOD＝110°，则∠BOC＝_______．
70°
典例精析
例3 45°52′48″＝______°；
126.31°＝ ____°____′____″；
25°18′÷3＝______；
126.31°＝126°+0.31×60′＝126°+18.6′
＝126°18′+0.6×60″＝126°18′36″.
解析：45°52′48″＝45°+52′+(48÷60)′＝45°+52.8′
＝45°+(52.8÷60)°＝45.88°.
25°18′÷3＝8°+1°18′÷3＝8°+78′÷3＝8°26′.
45.88
126
18
36
8°26′
典例3：计算：
(1)107°－52°32′30″＝____________；
(2)39°48′＋41°37′＝_________；
(3)25°36′24″×4＝______________；
(4)48°2′÷5＝___________．
54°27′30″
81°25′
102°25′36″
9°36′24″
针对训练
A
4. 5 点整时，时钟上时针与分钟之间的夹角是 ( )
A. 210° B. 30° C. 150° D. 60°
C
3. 若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则 ( )
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
例4 如图，∠AOB 是直角，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线.
(1) 当∠AOC = 50° 时，求∠MON 的大小；
O
B
M
A
N
C
提示：先求出∠BOC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM，∠CON，然后根据∠MON =∠COM－∠CON
代入数据进行计算即可得解.
典例精析
所以∠MON =∠COM－∠CON = 70°－25° = 45°.
解：因为∠AOB是直角，∠AOC = 50°，
所以∠BOC =∠AOB +∠AOC
= 90° + 50° = 140°.
因为 ON 是∠AOC 的平分线，
OM 是∠BOC 的平分线，
所以∠COM =∠BOC =×140° = 70°，
∠CON =∠AOC =×50° = 25°.
O
B
M
A
N
C
(2) 当∠AOC＝α 时，∠MON 等于多少度？
O
B
M
A
N
C
所以∠MON =∠COM－∠CON =(90° + α)－α = 45°.
解：∠BOC =∠AOB +∠AOC = 90° + α.
因为 ON 是∠AOC 的平分线，
OM 是∠BOC 的平分线，
∠CON =∠AOC = α.
所以∠COM =∠BOC =(90° + α)，
(3) 当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小也会发生改变吗？为什么？
解：不会发生变化.
由 (2) 可知∠MON 的大小与∠AOC
无关，总是等于∠AOB 的一半.
O
B
M
A
N
C
针对训练
5. 如图，长方形纸片 ABCD，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，连接 EF．将∠BEF 对折，点 B 落在直线 EF 上的点 B' 处，得折痕 EM；将∠AEF 对折，点 A 落在直线 EF 上的点 A' 处，得折痕 EN，求∠NEM 的度数．
解：由折纸过程可知，
EM 平分∠BEB' ，EN 平分∠AEA'．
因为∠BEB'＋∠AEA'＝180°，
所以有∠NEM＝∠NEA'＋∠MEB'
所以有∠MEB'＝∠BEB'，
＝(∠AEA'＋∠BEB' ) ＝90°．
＝∠AEA'＋∠BEB'
∠NEA'＝∠AEA'．
典例精析
例5 已知∠α 和∠β 互为补角，并且∠β 的一半比∠α 小 30°，求∠α、∠β．
【解析】设∠α＝x°，用 x 表示出∠β，列出方程即可.
解：设∠α＝x°，则∠β＝180°－x°．
根据题意 ∠β＝2(∠α－30°)，
即 180－ x＝2(x －30)，
解得 x＝80．
所以 ，∠α＝80°，∠β＝100°．
典例4：一个角的余角是它的补角的，求这个角的大小．
解：设这个角为x°，得90－x＝(180－x).
解得x＝30.所以这个角为30°.
典例5：如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC＝2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝77°，求∠COD的度数．
解：设∠COD＝x°，则∠AOC＝2x °，∠BOD＝180°－3x °.
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD＝(180°－3x°)
＝90°－x°，
所以∠COE＝∠COD＋∠DOE
＝x°＋90°－x°＝90°－x°＝77°，
解得x＝26.所以∠COD的度数为26°.
针对训练
6. 互为余角的两个角之差为 35°，则较大角的补角度数是_______.
117.5°
课堂小结
直线与角
几何图形
立体图形
平面图形
概念与性质
运算
直线、射线、线段
角
尺规作图
两点确定一条直线
两点之间线段最短
线段的中点
角平分线
互为余（补）角的概念与性质
线段(角)的和、差、倍、分
线段的和、差、倍、分计算
角的和、差、倍、分计算
度、分、秒的转化

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