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第3章 一次方程与方程组
第3章小结与复习
沪科版 七年级 数学（上）
知识构建
一次方程（组）
一元一次方程
概念
应用
二元一次方程组
三元一次方程组
依据：等式的基本性质
一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
二元一次方程组的解
二元一次方程的解法
一次方程组
解法
代入消元法
加减消元法
应用
探究新知
知识模块一　等式的基本性质与一元一次方程的解法
一、方程的有关概念
1. 方程:含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程．
一
1
2. 一元一次方程的概念:只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程．
3. 方程的解:使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c.
4. 解方程:根据等式的性质求方程的解的过程．
二、等式的性质
a
b
C
C
a
+c
+c
性质1 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式.
= b
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
a =
b
3
3
性质2 等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.
如果a=b，那么ac=bc， .
=
3
a
b
3
性质3（对称性） 如果a=b，那么b=a.
a
b
C
b
a
C
a = b
b = c
a = c
性质4（传递性） 如果a=b，b=c，那么a=c.
根据等式这一性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换.
三、一元一次方程
只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程.
使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解. 一元方程的解也叫作根.
步骤 根据 注意事项
去分母 等式性质2 ①不漏乘不含分母的项；
②注意给分子添括号.
去括号 分配律、 去括号法则 ①不漏乘括号里的项；
②括号前是“-”号，要变号.
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
系数化1 等式性质2 两边同除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数.
解一元一次方程的一般步骤：
列方程解应用题的步骤：
弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题里的未知数；
分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）；
根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
解这个方程，求出未知数的值；
检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.
1
2
3
4
5
典例精析
典例1：下列运用等式的基本性质对等式进行的变形中，正确的是(　　)
A．若x＝y，则x－a＝y＋a　　　　
B．若＝，则3a＝2b
C．若ac2＝bc2，则a＝b
D．若x＝y，则＝
B
典例2：解方程：＝－1.
解：去分母，得2(2x－1)＝2x＋1－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项、合并同类项，得2x＝－3.
两边同除以2，得x＝－.
仿例：解方程：－＝.
解：将原方程化简，得－＝.
去分母，得6(4x－90)－15(x－5)＝10(3＋2x).
去括号，得24x－540－15x＋75＝30＋20x.
移项，得24x－15x－20x＝30＋540－75.
合并同类项，得－11x＝495.
两边同除以－11，得x＝－45.
知识模块二　二元一次方程组和三元一次方程组
四、二元一次方程组
1. 二元一次方程的概念：含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程，叫作二元一次方程.
两个
1
2. 二元一次方程组的概念：只含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程组.
1
两个
3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解.
二元一次方程组的解法
①代入消元法：
②加减消元法：
转化
代入
求解
回代
写解
检验
变形
加减
求解
回代
写解
检验
五、三元一次方程组
1. 三元一次方程组的概念：含有 未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作三元一次方程组.
1
三个
2. 三元一次方程组的解法：通过消元转化成解二元一次方程组的问题，再消元转化成解一元一次方程的问题..
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
列方程 (组) 的应用题的一般步骤：
设：设未知数.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程（组）．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案 (包括单位)．
[注意] 审题是基础，找等量关系是关键.
典例精析
典例1：解下列方程组：
(1)
(2) 　
解：由②，得4(x＋y)＋3(x－y)＝15.③
(1) 　
①＋③，得6(x＋y)＝18.x＋y＝3.
把x＋y＝3代入③，
得4×3＋3(x－y)＝15.
3(x－y)＝3.x－y＝1.
联立
所以
(2)
解：将原方程组化简，得
③×2＋④，得11x＝22.x＝2.
把x＝2代入③，得8－y＝5.y＝3.
所以
典例2：解三元一次方程组：
解：①＋②，得5x－z＝14.④
①＋③，得4x＋3z＝15.⑤
组成方程组
解得
把x＝3，z＝1代入③，得3＋y＋1＝12.y＝8.
所以
变例：某个三位数除以它各数位上数字和的9倍，得到的商为3.已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1，如果把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得新数比原数大99，求这个三位数．
解：设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z.
根据题意，得
解得
所以这个三位数是243.
随堂检测
1. 解下列一元一次方程：
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
解: （1）移项，得 7x + 3x = 5.
合并同类项，得 10x = 5.
两边同除以 10，得 x =.
（2）移项，得 3x + 3x = 15 + 27.
合并同类项，得 6x = 42.
两边同除以 6，得 x = 7.
1. 解下列一元一次方程：
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
（3）12-3(2-y) = 6y + 5； （4）6(y+7)-3 = 4(3 – y) + 3.
（3）去括号，得 12 – 6 + 3y = 6y + 5.
合并同类项，得 -3y = -1.
两边同除以 -3，得 y =.
移项，得 3y - 6y = 5 - 12 + 6.
（3）12-3(2-y) = 6y + 5； （4）6(y+7)-3 = 4(3 – y) + 3.
（4）去括号，得 6y + 42 - 3 = 12 - 4y + 3.
合并同类项，得 10y = -24.
两边同除以 10，得 y = .
移项，得 6y + 4y = 12 + 3 - 42 + 3.
2. 解下列一元一次方程：
（1）；
解：去分母，得 5(2x + 1) = 3(x + 1).
合并同类项，得 7x = 28.
两边同除以 7，得 x = 4.
移项，得 10x–3x = 33 - 5.
去括号，得 10x + 5 = 3x + 33.
（2）.
去分母，得 6(y - 3) = 5y - 9(y - 7).
合并同类项，得 10y = 81.
两边同除以 10，得 y = .
移项，得 6y–5y + 9y = 63 + 18.
去括号，得 6y - 18 = 5y - 9y + 63.
3. 解下列方程组：
（1）
3x – 2y = 10，
4x – 3y = 13；
（2）
2x + 3y - 2 = 0，
4x – 9y + 1 = 0；
x = 4，
y = 1.
x =，
y =.
（3）
x + 1 = 5(y + 2)，
3(2x – 5) - 4(3y + 4) = 5；
（4）
x = 4，
y = -1.
x = -7，
y = 6.
4. 在等式 y = kx + b 中，当 x = 1 时，y = 3；当 x = -2 时，y = 9. 试求 k，b 的值.
解：根据题意，得
解方程组，得
5. 把一根 9 m 长的铜管截成 1 m 和 2 m 长两种规格的短铜管，且没有剩余，求一共有多少种不同的截法.
解:设截得的 1 m 长的短铜管有 x 根，2 m 长的短铜管有 y 根.
根据题意，得 x＋2y ＝ 9. 所以 x ＝ 9－2y.
由题意可知 x，y 都是正整数，所以 x ＝1，y ＝4
或 x ＝3，y ＝3 或 x ＝ 5，y ＝2 或 x ＝ 7，y ＝ 1.
因此，一共有 4 种不同的截法.
6.某公路收费站的货车收费标准是：第一类 10 元/车次，第二类 20 元/车次，第三类 30 元/车次，某天通过该收费站的三类货车的车次之比是 10 : 3 : 2，共收费 4.4 万元.
这天通过该收费站的三类货车各有多少车次？
解: 设这天通过该收费站的第第二类货车有 3x 车次，第三类货车有 2x 车次.
由题意得 10x·10 + 3x·20 + 2x·30 ＝44 000.
解方程，得 x ＝ 200.
10x ＝ 10×200 ＝ 2 000，3x ＝3×200 ＝ 600，
2x ＝ 2×200 ＝ 400.
答:这天通过该收费站的第一类货车有 2 000 车次，
第二类货车有 600 车次，第三类货车有 400 车次.
一类货车有 10x 车次，
7. 运输户承包运送 2000 套玻璃茶具，运输合同规定: 每套运费1.6 元；如有损坏，每套不仅得不到运费，还要赔 18 元. 结果，这个运输户得到运费 3 102 元，运输过程中损坏了几套茶具？
解: 设运输过程中损坏了 x 套茶具.
根据题意，得 1.6(2 000－x)－18x ＝ 3 102.
解方程，得 x ＝ 5.
答: 运输过程中损坏了 5 套茶具.
8.甲便民服务点有工作人员27人，乙便民服务点有工作人员19人.现有 20 名志愿者前来支援. 要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的 2 倍，应怎样分配前来的志愿者？
解:设应分配给甲便民服务点 x 人，则分配给乙便民服务点(20－x)人.
根据题意，得 27 + x ＝2[19 + (20－x)].
解方程，得 x ＝ 17. 所以 20－x ＝20－17 ＝ 3.
答: 应分配给甲便民服务点 17 人，乙便民服务点 3 人.
9. 一旅客携带 30 kg 行李乘飞机. 按规定，旅客最多可免费托运 20 kg 行李，超重部分每千克按当班飞机票价格的 1.5% 收费. 现该旅客支付了 120 元的托运费，当班飞机票的价格是多少元？
解: 设当班飞机票的价格为 x 元.
根据题意，得(30－20)×1.5％x ＝ 120.
解方程，得 x ＝ 800.
答: 当班飞机票的价格是 800 元.
10.在长方形 ABCD 中，放入 8 个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示. 试求阴影部分的面积.
根据题意，得
解：设每个小长方形的长为 x，宽为 y.
解方程组，得
所以大长方形的宽为 3y + 4 = 3×2 + 4 = 10.
所以阴影部分的面积为 16×10–8×8×2 = 32.
11. 某厂现有厂房 15 000 m2，计划拆除部分旧厂房，重建新厂房，使厂房总面积扩大 40%. 如果新建厂房的面积是拆除的旧厂房面积的 3 倍，那么应该拆除多大面积的旧厂房？新建厂房面积有多大？
解:设应该拆除的旧厂房的面积为 x m2 ，则新建厂房的面积为 3x m2 .
根据题意，得 15 000×(1+40％) ＝ 15 000－x + 3x.
解方程，得 x ＝ 3 000. 3x ＝3×3 000 ＝9 000.
答:应该拆除 3 000 m2 的旧厂房，新建厂房面积为 9 000 m2.
12. 某校今年秋季招收七年级、高中一年级新生共 500 人. 计划明年秋季这两个年级招生数比今年增加 18%，其中七年级增加 20%，高中一年级增加 15%. 该校明年计划招收七年级、高中一年级新生各多少人？
解: 设该校今年秋季招收七年级新生 x 人，高中一年级
新生 y 人.
根据题意，得
x + y = 500，
(1+20%)x + (1+15%)y = 500×(1+18%).
解方程组，得
x = 300，
y = 200.
所以该校明年计划招收七年级新生 300×(1+20%)＝ 360 (人)，招收高中一年级新生 200×(1+15%)＝ 230 (人).
13. 将浓度为 65% 的酒精与浓度为 95% 的酒精混合，制成了浓度为 75% 的酒精 0.9 kg. 两种酒精各使用了多少千克？
解: 设浓度为 65％ 的酒精使用了x kg，浓度为 95％ 的酒精使用了 y kg.
根据题意，得
x + y = 0.9，
65%x + 95%y = 75%×0.9.
解方程组，得
x = 0.6，
y = 0.3.
答: 浓度为 65％ 的酒精使用了 0.6 kg，浓度为 95％ 的酒精使用了 0.3 kg.
14. 某天，一蔬菜经营户用 218 元从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共 40 kg 到菜市场去卖，西红柿和豆角这天每千克的批发价与零售价如下表所示.
品名 西红柿 豆角
批发价/元 5.6 5.0
零售价/元 9.2 8.2
卖出这些西红柿和豆角，共能赚多少钱？
品名 西红柿 豆角
批发价/元 5.6 5.0
零售价/元 9.2 8.2
解: 设该蔬菜经营户批发了西红柿 x kg，豆角 y kg.
根据题意，得
x + y = 40，
5.6x + 5.0y = 218.
解方程组，得
x = 30，
y = 10.
30×(9.2-5.6) + 10×(8.2-5.0) = 140（元）.
答:卖出这些西红柿和豆角，共能赚 140 元.
15.《算法统宗》中有这样的问题:“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托约 5尺）.”大意是：现有一根竿子和一条绳
子，绳子比竿子长 5 尺，如果将绳子对折后去量竿，它比竿子短 5 尺，求竿子长几尺.
解: 设竿子长 x 尺，则绳子长 (x + 5) 尺.
根据题意，得.
答：竿子长 15 尺.
解方程，得 x = 15.
16. 我国古代数学著作《九章算术》中有一题: 用卖 2 头牛、5 头羊的钱买 13 头猪，剩钱1000；用卖 3 头牛、3 头猪的钱买 9 头羊，钱正好；用卖 6 头羊、8 头猪的钱买 5 头牛，还差钱 600. 牛、羊、猪每头的价钱各为多少？
解: 设牛、羊、猪每头的价钱分别为 x，y，z.
根据题意，得
2x + 5y = 13z + 1000，
3x + 3z = 9y，
6y +8z + 600 = 5x.
解方程组，得
x = 1200，
y = 500，
z = 300.
答：每头牛的价钱为 1200，每头羊的价钱为 500，每头猪的价钱为 300.

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