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(共22张PPT)
新湘教版八年级上册数学
第4章 三角形
4.2.3 定理，推论
学习目标
1．通过具体事例掌握定理、推论、逆定理、互逆定理等概念．
2．掌握命题证明的过程与方法，会写规范的证明过程．
3．培养学生的逻辑思维能力．
任务导入
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.
定理也可以作为判断其他命题真假的依据，
利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角
等于与它不相邻的两个内角的和"，于是可将这一结论称为“三角形
的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”.
探索展示
如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，
问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
A
B
C
D
E
F
60O
80O
40O
∵ ∠ACE = 180°- 40°= 140°
∠CBD = 180°-60°= 120°
∠BAF =180°-80°= 100°
∴ ∠ACE + ∠CBD + ∠BAF
= 140°+ 120°+ 100°= 360°
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
探索展示
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
A
B
D
C
E
F
证：如图 ，△ABC的三个外角分别为∠BAF，∠CBD，∠ACE.
∵ ∠BAF = 180°- ∠BAC
∠CBD = 180°-∠ABC
∠ACE = 180°-∠ACB
∴ ∠BAF + ∠CBD + ∠ACE
=(180°- ∠BAC)+(180°- ∠ABC)+(180°- ∠ACB)
= 540°-(∠BAC + ∠ABC + ∠ACB)
= 540°- 180°
= 360°
由此可得：三角形的外角和等于360°.
探索展示
平行线的性质定理1“两直线平行，同位角相等”
与平行线的判定定理1“同位角相等，两直线平行”是互逆定理.
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的
逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
平行线的性质定理1“两直线平行，同位角相等”的逆命题
“同位角相等，两直线平行”也是真命题
应用提升
例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
已知：如图，在△ABC中，∠B = ∠C，AE是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥BC.
A
B
C
D
E
证：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得
∠CAD = ∠B + ∠C
又∵∠B = ∠C
∴ ∠CAD = 2∠B
∵ AE是∠CAD的平分线
∴ ∠CAD = 2∠DAE
从而 2∠B = 2∠DAE
即∠B = ∠DAE
∴ AE∥BC(同位角相等，两直线平行).
应用提升
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件；
第二步，根据命题的结论写出求证；
第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经
证明了的定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论.
应用提升
课堂练习
1.证明：如图，在四边形 ABCD 中，如果 ∠A + ∠B = 180°，
那么 ∠C +∠D = 180°.
A
B
C
D
证： 在四边形 ABCD 中
∵ ∠A + ∠B = 180°
∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)
从而 ∠C +∠D = 180°(两直线平行, 同旁内角互补)
应用提升
课堂练习
2.如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，且 ∠1 = ∠2.
求证：∠3 + ∠4 =180°.
A
C
D
B
M
N
1
2
3
4
证： ∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行)
从而 ∠3+∠4=180°
(两直线平行, 同旁内角互补)
应用提升
课堂练习
3.如图，线段AB与CD相交于点E. 求证：∠A + ∠C = ∠B + ∠D.
A
B
D
C
E
证： ∵ AB与CD 相交于点E
∴ ∠AEC=∠BED (对顶角相等)
又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
(三角形内角和等于180°)
∴ ∠A + ∠C = ∠B + ∠D
课堂小结
导图复盘
定理、推论
├─真命题
│ ├─定理─推论
│ └─逆定理
└─图形相关的证明
├─第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件；
├─第二步，根据命题的结论写出求证；
└─第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论.
当堂检测
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
1.有下列描述:①过点A作直线AF//BC;②两直线平行，同旁内角互补;
③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有( )
当堂检测
2. 下列定理中没有逆定理的是( )
A. 同位角相等，两直线平行
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 互为相反数的两数之和为0
D. 对顶角相等
3. 下列定理中没有逆定理的是( )
D
A. 同位角相等，两直线平行
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 互为相反数的两数之和为0
D. 对顶角相等
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4. ［2025遂宁开学考试］下列说法中，正确的是( )
C
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5.定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，
那么同位角相等”有逆定理吗 如果有，请将其逆定理写出.
【解】有.逆定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角
相等，那么这两条直线平行.
返回
课堂小结
1.证明一个命题是真命题的基本步骤是什么
2.用反证法证明应分几步
作业
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
下 课
Thanks!
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