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第10章　数的开方
课题　平方根
问题1：一个正方形的边长是5 cm，它的面积是多少？
( )2=25.
5
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问题2：要剪出一张面积为 25 cm2 的正方形纸片，正方形的边长是多少？
问题3：若已知正方形面积是a cm2，那么它的边长是多少？
探究新知
知识模块一　平方根与平方根的性质
如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
概念
5 的平方等于 25，所以 5 是 25 的一个平方根.
25 的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于 25？
举例
又因为 ( -5 )2 = 25，
所以 -5 也是 25 的一个平方根.
这就是说，5 与 -5 都是 25 的平方根.
求法
根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.
（1）求100的平方根.
解：因为 102 = 100，(－10)2 = 100，除了 10 和
－10 以外，任何数的平方都不等于100，
也可以说，100 的平方根是 ±10.
所以 100 的平方根是 10 和 －10.
典例精析
(2) 的平方根是____；
(3)0.16的平方根是________；
(4)0的平方根是________；
±
±0.4
0
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3. -4有没有平方根？为什么？
±12
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
想一想
通过这些题目的解答，回答下列问题，看看你能发现什么
问题:（1）正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根.
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
平方根的性质：
因为任何有理数的平方都不可能是负数，所以，负数没有平方根.
知识模块二　算术平方根与开平方
概念
正数 a 有两个平方根，其中正的平方根叫做 a 的算术平方根. 特别的，0 的算术平方根是 0.
正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根，
记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即. 因此，正数 a 的平方根可以记作，其中 a 称为被开方数.
根号
被开方数
a是非负数，a≥0.
特殊：0的算术平方根是0. 记作=0
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
x x2
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
这是什么运算
？
平方运算
x2 x
问题1：算一算，下面两种运算有什么关系？
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
在题中，我们可以先求出100的算术平方根，有，然后得知100的平方根是平方与开平方互为逆运算.
平方与开平方有什么关系？
典例精析
解：(1) 由于 72 = 49， = 7 ，
因此 49 的平方根为 ± = ±7.
将下列各数开平方：（1）49； （2） .
由于 = ， = ，
因此 的平方根为 ± = ±.
（2） .
1.填一填
（1）9 的算术平方根是 ；
（2）0.01 的算术平方是 ；
（3）8 100的算术平方是 ；
（4）10 的算术平方根是 ；
（5）的算式平方根是 ；
（6）(-4)2 的算术平方根是 .
3
0.1
90
4
针对训练
2.判断
（1）5 是 25 的算术平方根；
（2）-6 是 36 的算术平方根；
（3）0 的算术平方根是 0；
（4）0.01 是 0.1 的算术平方根；
（5）-5 是 -25 的算术平方根.
问题2：如何求出一个较大的数的开平方运算的结果呢？
对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.
计算器计算算术平方根的方法：
在计算器上依次键入:
被开方数
EXE
用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529 ； （2）44.81（精确到 0.01）．
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.
典例精析
解：(1) 本小题的按键顺序是：
显示结果为 23，所以 529 的算术平方根为 = 23.
5
2
9
EXE
，
显示结果为 6.694 027 188 ，要求精确到 0.01，可得 ≈ 6.69.
(2) 本小题的按键顺序是：
4
4
·
EXE
，
8
1
（1）529 ； （2）44.81（精确到 0.01）．
若已知一个正数的平方根是m＋3和2m－15.
(1)求这个正数是多少；
(2)求的平方根．
典例精析
解：(1)∵这个正数的平方根是m＋3和2m－15，
∴(m＋3)＋(2m－15)＝0，
∴m＝4，
∴这个正数是(m＋3)2＝49；
(2)由(1)得： ＝3，
∴ 的平方根是± .
课堂小结
平方根
平方根的概念和性质
用计算器求一个数的算术平方根
算术平方根的概念和性质
1.完成下列表格：
被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
算术平方根
平方根
0
0
1
±1
2
±2
3
±3
4
±4
5
±5
6
±6
7
±7
8
±8
9
±9
10
±10
随堂检测
2.你知道下列各式中字母 x 的取值范围吗？
0，1
0
正
4.判断 在哪两个整数之间？
正数的算术平方根是____数，0 的算术平方根
是____，算术平方根等于它本身的数是 ；
3.填空：
因为 <<，
所以4<<5，所以 在 4 和 5 之间.

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