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第11章 整式的乘除
课题6 单项式与多项式相乘
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练一练：判断正误(不对的并加以改正).
(1)4a2·2a3＝8a6；
(2)(ab)2(ab3)＝a3b5 ；
(3)(－2x2)3xy2＝8x7y2.
×
8a5
√
×
－8x7y2
探究新知
知识模块一　探究单项式与多项式相乘的法则
如图，试求出三块草坪的的总面积是多少？
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别
表示为_____、_____、_____，总面积为 .
p
a
p
b
p
c
pa
pc
pb
pa + pb + pc
p
a
p
p
c
如果把三个小长方形拼成一个大长方形，那么它们的总面积可以表示为 .
p(a + b + c)
b
pa + pb + pc
p (a + b + c)
p ( a + b + c )
pb
+
pc
pa
+
根据乘法的分配律
单项式与多项式的乘法法则
单项式与多项式相乘，用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.
（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
注意
p
b
p
a
p
c
p (a + b + c) = pa + pb + pc
知识要点
计算：2a2 · (3a2－5b)
方法总结：根据乘法分配律，将单项式乘多项式的每一项，然后求和．
解：原式 = 2a2·3a2 + 2a2· (－5b)
= 6a4 －10a2b.
典例精析
1.计算：
(1) (－2a2)·(3a2b －5ab2)；
解：(1) 原式 = (－2a2)·3a2b + (－2a2)·(－5ab2)
= －6a4b + 10a3b2.
练一练
(2) (ab2－2ab) ·ab；
(2) 原式 =ab2 ·ab+(－2ab) ·ab
=a2b3 -a2b2
(3) 5m2n (2n + 3m－ n2)；
(4) 2( x + y2z + xy2z3 ) · xyz.
(3) 原式 = 5m2n · 2n + 5m2n · 3m + 5m2n · (－n2)
=10m2n2 + 15m3n－ 5m2n3.
(4) 原式 = (2x + 2y2z + 2xy2z3) · xyz
= 2x2yz + 2xy3z2 + 2x2y3z4.
先化简，再求值：
5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2.
解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2
＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2
＝－28a2＋15a
当 a＝2 时，原式＝－82.
典例精析
方法总结
在计算时要注意先化简然后再代值计算．
整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的________，再将所得的积________.
2. 4(a - b + 1) =____________.
每一项
相加
4a - 4b + 4
3. 3x(2x - y2) =____________.
6x2 - 3xy2
4. (2x - 5y + 6z)(-3x) =__________________.
-6x2 + 15xy - 18xz
5. (-2a2)2 (-a - 2b + c) =_________________.
-4a5 - 8a4b + 4a4c
练一练
2.一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 a m，下底宽 (a＋2b) m，坝高a m．
知识模块二：利用单项式与多项式相乘的法则解决实际问题
解：(1) [ a＋(a＋2b) ]×a
＝a (2a＋2b)
＝(a2＋ab )(m2).
故防洪堤坝的横断面面积为 (a2＋ab)m2.
(1) 求防洪堤坝的横断面面积；
(2) 如果防洪堤坝长 100 m，那么这段防洪堤坝的体积是多少 ？
(2) (a2＋ab)×100＝(50a2＋50ab) (m3)．
故这段防洪堤坝的体积为 (50a2＋50ab) m3．
解：n(2n＋1)－2n(n－1)
∵n为自然数，
∴n(2n＋1)－2n(n－1)的值一定是3的倍数．
＝2n2＋n－(2n2－2n)
＝2n2＋n－2n2＋2n
＝3n.
练一练
若n为自然数，试说明n(2n＋1)－2n(n－1)的值一定是3的倍数．
整式的乘法
单项式乘以多项式
实质上是转化为单项式×单项式
注意
(1) 计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负；
(2) 不要出现漏乘现象；
(3) 运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减；
(4) 对于混合运算，最后应合并同类项.
课堂小结
1. 计算：- 2x2 · ( xy + y2 ) - 5x(x2y - xy2).
解：原式 = ( -2x2)·xy + (-2x2)·y2 -5x·x2y -5x·(-xy2)
= -2x3y + (-2x2y2) -5x3y + 5x2y2
= -7x3y + 3x2y2.
随堂检测
(1) 2x2 与 5x 前面的“ - ”不能看漏；
(2) 单项式与多项式相乘的结果中，应将 同类项 合并.
注意
2.先化简，再求值 3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4)，
其中 a = -2.
解：3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4)
= 6a3 - 12a2 + 9a - 6a3 - 8a2
= -20a2 + 9a.
当 a = -2 时，原式 = -20×(-2)2 + 9×(-2) = -98.
3. 如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的总面积.
住宅
广场
商厦
3a
3a + 2b
2a-b
4a
解：4a [(3a + 2b) + (2a－b)]
＝ 4a (5a + b)
＝ 4a · 5a + 4a · b
＝ 20a2 + 4ab.
答：这块地的总面积为
20a2 + 4ab.
住宅
广场
商厦
3a
3a + 2b
2a-b
4a

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