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第11章 整式的乘除
课题7 多项式与多项式相乘
导入新课
4.－5x(2x2－3x＋1)＝ _________________ ．
12ab3
－6x2＋18xy
－32x7y5
－10x3＋15x2－5x
计算：
1.(－3ab)·(－4b2)＝_____________；
2.－6x(x－3y)＝ _____________ ；
3.(2x2y)3·(－4xy2)＝ _____________ ；
探究新知
知识模块一　探究多项式与多项式相乘的法则
问题：如图1是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加 a，b，所得长方形(图2)的面积怎样用不同形式表示
m
n
图 1
m
n
a
b
图 2
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗
方法一：用不同的形式表示所拼图的面积：
m
n
a
b
① (m + a)( n + b)
③ m( n + b) + a( n + b)
② n(m + a) + b(m + a)
④ mn + mb + an + ab
合作探究
于是得到 (m + a)( n + b)＝n(m + a) + b(m + a)
＝m( n + b) + a( n + b)＝mn + mb + an + ab
＝ mn + mb + an + ab.
或 (m + a)( n + b)
＝ m(n + b) + a( n + b)
方法二：把 (m + a) 和 ( n + b) 看成一个整体，利用乘法分配律：
m
n
a
b
(m + a)( n + b)
＝(m + a)n + (m + a)b
＝ mn + mb + an + ab.
你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗 小组讨论得出结果.
合作探究
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
知识要点
追问：以 (a + b)(m + n) 为例，能否用字母呈现出多项式与多项式相乘的法则
1
2
3
4
(a + b)(m + n)
=
am
1
2
3
4
+ an
+ bm
+ bn
例1 计算：(1) (x + 2)(x－3)； (2) (2x + 5y)(3x－2y).
解 (1) (x + 2)(x－3)
= x2－3x + 2x－6
= x2－x－6.
(2) (2x + 5y)(3x－2y)
= 6x2－4xy + 15yx－10y2
= 6x2 + 11xy－10y2.
计算结果中的－x 是怎么得到的
←合并同类项
典例精析
需要注意的几个问题：
(1)漏乘；
(2)符号问题；
(3)最后结果应化成最简形式.
注意
计算: (x +2)(x +3) = x +______x+______
(x -4)(x +1) =x2+______x+______
(x +4)(x -2)= x +______x+______
(x-2)(x-3)= x +______x+______
观察上面四个等式，你能发现什么规律？
5
(-3)
2
(-5)
典例精析
6
(-4)
(-8)
6
(x-a)(x+b)= x +______x+______
(a+b)
ab
例2 计算： (1) (m－2n)(m + mn－3n2)；
解 (1)(m－2n)(m2 + mn－3n2)
= m · m + m · mn－m · 3n －2n · m －2n·mn + 2n · 3n
= m + m n－3mn －2m n－2mn + 6n
= m3－m2n－5mn2 + 6n .
(2) (3x2－2x + 2)(2x + 1)
= 6x + 3x2－4x2－2x + 4x + 2
= 6x3－x2 + 2x + 2.
(2) (3x2－2x + 2) (2x + 1).
1. 计算：（1）( 3x + 1 )( x + 2 )；
解：(1) 原式 = 3x · x + 3x×2 + 1 · x + 1×2
= 3x2 + 6x + x + 2
练一练
= 3x2 + 7x + 2.
(2) 原式 = x · x - xy - 8x + 8y
(3) 原式 = x·x2 - x · xy + xy2 + x2y - xy2 + y · y2
（2）( x - 8 )( x - y )；
（3） ( x + y )( x2 - xy + y2 ).
= x2 - xy - 8x + 8y.
= x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3
= x3 + y3.
知识模块二　多项式与多项式的综合应用
范例：要使x(x2＋a)＋3x－2b＝x3＋5x＋4成立，则a，b的值分别为多少？
解：(1)原式＝2mx－3mx2＋16－24x
变例：(1)已知多项式(mx＋8)(2－3x)展开后不含x项，求m的值；
＝－3mx2＋(2m－24)x＋16.
∵展开后不含x项，
∴2m－24＝0，解得m＝12；
(2)原式＝12x2＋4x＋18x＋6－12x2－78x＋56x＋16＝22，为常数，
∴原代数式的值与x的取值无关．
(2)试说明：代数式(2x＋3)(6x＋2)－6x(2x＋13)＋8(7x＋2)的值与x的取值无关．
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12
课堂小结
1.计算：(1) (x 3y)(x + 7y)；
= x2 + 4xy 21y2.
解：(1) 原式 = x2 + 7xy 3yx 21y2
随堂检测
(2) (2x + 5y)(3x 2y).
(2) 原式 = 2x 3x 2x 2y + 5 y 3x 5y 2y
= 6x2 4xy + 15xy 10y2
= 6x2 + 11xy 10y2.
(3) (3x4－3x2＋1)(x4＋x2－2).
解：原式＝3x4·x4＋3x4·x2－3x4·2－3x2·x4－3x2·x2－3x2·(－2)＋x4＋x2－2
＝3x8＋3x6－6x4－3x6－3x4＋6x2＋x4＋x2－2
＝3x8－8x4＋7x2－2.
2. 化简求值：(4x + 3y)(4x－3y) + (2x + y)(3x－5y)，其中 x = 1，y =－2.
解：原式=16x2－12xy +12xy－9y2+ 3x2－10xy+3xy－5y2
当 x = 1，y = －2 时，
=22x2－7xy－14y2
原式 = 22×－7×1×(－2)－14×(－2)2
= 22 + 14－56
= －20.
3. 小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长 a 厘米，宽 b 厘米，厚 c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？
七年级(下)
姓名：__________
数学
c
b
a
a
b
c
m
b
m
面积：(2m + 2b + c)(2m + a)
解：(2m + 2b + c)(2m + a)
= 4m2 + 2ma + 4bm + 2ab + 2cm + ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块
(4m2 + 2ma + 4bm+ 2ab + 2cm + ca) 平方厘米的长方形.

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