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第10章　数的开方
课题　平方根
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一、幂的运算
1．幂的运算法则
法则名称 文字表示 式子表示
同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数 ，指数 . am an＝　 .　(m、n 为正整数)
am＋n
不变
相加
法则名称 文字表示 式子表示
幂的乘方 幂的乘方,底数 ，指数 . (am)n＝ .
(m、n 为正整数)
积的乘方 积的乘方，等于把积的每个因式分别 ，再把所得的幂 . (ab)n＝ .
(n 为正整数)
amn
anbn　
相乘
不变
相乘
乘方
同底数幂的除法 同底数幂相除，底数 ，指数 . am÷an＝ . (a ≠ 0，m、n 为正整数，且 m＞n)
相同点 运算中的 不变，只对 运算
不同点 （1）同底数幂相乘是指数 . （2）幂的乘方是指数 . （3）积的乘方是每个因式分别 . （4）同底数幂相除是指数 .
不变
相减
底数
指数
相加
相乘
乘方
相减
am－n
[注意]
(1)其中的 a、b 代表的不仅可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；
(2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
相同字母的幂
1.整式的乘法
单项式与单项式相乘，把它们的______、______
________分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个_______.
系数
因式
二、整式的乘除
单项式与多项式相乘，用_______和_______的每一项分别相乘，再把所得的积_______.
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的______
与另一个多项式的_______相乘，再把所得的积　 　______.
单项式
多项式
相加
每一项
每一项
相加
2．乘法公式
公式名称 两数和乘以这两数的差 两数和(差)的平方
文字表示 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 两数和(差)的平方，等于这两数的　 　加上(减去)　 　的 2 倍
式子表示 (a＋b)(a－b)＝ . (a±b)2＝ .　　
平方和
这两数积
a2－b2
a2 ± 2ab ＋ b2
结构特点 ①左边是两个　　项式相乘，这两个二项式中有一项　 　，另一项　 . ②右边是　　项式，是乘式中两项的　 　 ，即相同项的平方与相反项的平方的差. ①左边是一个　　项式的和(或差)的　 　；②右边是　　项式，是左边二项式中两项的 ，再____(或减去)它们　　的 2 倍.
二
完全相同
互为相反数
二
平方差
二
平方
三
平方和
加上
积
顺口溜 和差积平方差 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，加减看前方，同加异减
公式的常 用变形 a2＝　 　(a－b)＋b2； b2＝　　－(a＋b)(a－b). a2＋b2＝(a＋b)2－ ，　　 a2＋b2＝(a－b)2＋ 　；
(a＋b)2＝(a－b)2＋ .　
(a＋b)
2ab
2ab
4ab
a2
[点拨]
(1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算；
(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．
3．整式的除法
(1)单项式除以单项式
单项式相除，把　 　、　 　分别相除作为商的
　 ，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个　 　.
系数
同底数幂
因式
因式
(2)多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个　 ，再把所得的商　 　.
[点拨] 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式．
单项式
相加
四、因式分解
1．因式分解的意义
把一个多项式化成几个整式的　　的形式，叫做多项式的因式分解．
因式分解的过程和　 　的过程正好相反．
积
整式乘法
2．用提公因式法分解因式
公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的　 ；字母取多项式各项　 　的字母；各字母指数取次数最　　的．
最大公约数
相同
低
一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到 　外面，将多项式写成　 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
括号
因式乘积
[注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先要考虑多项式的各项有无公因式．
3．用公式法分解因式
把　 　反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是：
(1)逆用平方差公式 ＝　 　；
(2)逆用两数和(差)的平方公式 ＝ .
乘法公式
a2 - b2
(a+b)(a-b)
a2±2ab＋b2
(a±b)2
[点拨] 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有符合公式的特征时才能运用公式．
4．因式分解的步骤
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先　 　；
(2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用　 　公式分解因式；三项式可以尝试运用　 　公式分解因式；
(3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能 　为止．
提取公因式
平方差
两数和(差)的平方
再分解
探究新知
知识模块一　整式的乘除法运算
典例1：计算：(1)3x3·(－2x2)；
(2)[(－2x)3]2；
(3)－2xy(5x2y－4xy＋1)；
(4)(2a－2b)(3a＋7b)；
(5)9x3÷(－3x2)；
(6)(3x3y－x2y2＋2x2y)÷(－x2y).
解：(1)原式＝－6x5；
(2)原式＝64x6；
(3)原式＝－10x3y2＋8x2y2－2xy；
(4)原式＝6a2＋8ab－14b2；
(5)原式＝－3x；
(6)原式＝－3x＋y－2.
典例2：先化简，再求值：2a2b－[3a2b－ab(b－2a)]÷ ，其中a＝1，b＝3.
解：原式＝2a2b－[3a2b－(ab2－2a2b)]÷
＝2a2b－(5a2b－ab2)÷
＝2a2b－(－10a＋2b)
＝2a2b＋10a－2b.
当a＝1，b＝3时，原式＝2×1×3＋10×1－2×3＝6＋10－6＝10.
整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的.
归纳总结
1.一个长方形的面积是 a3 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 .
2.已知多项式 2x3 - 4x2 - 1 除以一个多项式 A，得商为 2x，余式为 x - 1，则这个多项式是 .
a2 - 2b + 1
针对训练
x2 - 2x-
典例3：已知x＋y＝7，xy＝10，求3x2＋3y2的值．
解：原式＝3(x2＋y2)＝3[(x＋y)2－2xy]
知识模块二　乘法公式的运用
＝3×(72－2×10)
＝3×29＝87.
典例4：已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，求a2＋b2＋ab的值．
解：由(a＋b)2＝1，得a2＋2ab＋b2＝1，①
由(a－b)2＝25，得a2－2ab＋b2＝25.②
由①－②，得4ab＝－24，∴ab＝－6.
由①＋②，得2a2＋2b2＝26，∴a2＋b2＝13.
∴a2＋b2＋ab＝13＋(－6)＝7.
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
归纳总结
1.求方程 (x - 1)2 - (x - 1)(x + 1) + 3(1 - x) = 0 的解.
解：原方程可化为 - 5x + 5 = 0，解得 x = 1.
针对训练
解：因为 x2 + 9y2 + 4x - 6y + 5 = 0，
所以(x2 + 4x + 4) + (9y2 - 6y + 1) = 0.
所以 (x + 2)2 + (3y - 1)2 = 0. 所以 x + 2=0，3y - 1 = 0.
解得 x = -2，y =. 所以xy=(-2)=-
2.已知 x2 + 9y2 + 4x - 6y + 5 = 0，求 xy 的值.
知识模块三　因式分解
典例5：分解因式：
(1)ax－ay＋bx－by；
(2)25a2b2＋10ab＋1；
(3)(x－y)2－4(x－y－1)；
(4)3ap2－18apq＋27aq2.
解：(1)原式＝a(x－y)＋b(x－y)＝(x－y)(a＋b)；
(2)原式＝(5ab)2＋2×5ab＋12＝(5ab＋1)2；
(3)原式＝(x－y)2－4(x－y)＋4＝(x－y－2)2;
(4)原式＝3a(p2－6pq＋9q2)＝3a(p－3q)2.
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
归纳总结
下列变形，是因式分解的是（ ）
A. a(x + y) = ax + ay
B. x2 + 4xy + y2 - 1 = x(x + 4y) + (y + 1)(y - 1)
C. am2 - a = a(m + 1)(m - 1)
D. m2 - 9n2 + 3 = (m + 3n)(m - 3n) + 3.
C
针对训练
知识模块四　整式乘除与因式分解的综合运用
典例6：先化简，再求值：(am2－6amn)÷am－(4m2－9n2)÷(2m－3n)，其中m＝－3，n＝.
解：原式＝(m－6n)－(2m－3n)(2m＋3n)÷(2m－3n)
＝m－6n－(2m＋3n)
＝－m－9n.
当m＝－3，n＝时，原式＝－(－3)－9×＝0.

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