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第11章 整式的乘除
课题12 因式分解
导入新课
如图，这是教室的一块大黑板，
请同学们计算它的面积．
(1)m(a＋b＋c)与ma＋mb＋mc相等吗？
(2)从左边到右边的变形是什么？从右边到左边的变形是什么？
(1)m(a＋b＋c)与ma＋mb＋mc相等吗？
(2)解：整式乘法；因式分解．
把下列多项式写成乘积的形式，观察结果有什么特点.
都是多项式化为几个整式的积的形式
(1) ma + mb + mc = ( )( )
(2) a2 - b2 = ( )( )
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2
m a + b + c
a + b a - b
a + b
探究新知
知识模块一　因式分解的定义
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式.
知识要点
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
想一想
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
等式的特征：
左边是多项式，右边是几个整式的乘积。
③
⑥
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
是整式乘法
每个因式必须是整式
辨一辨
知识模块二　因式分解的常见方法
提公因式法
1
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式 p
pa + pb + pc
这个多项式有什么特点？
找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
例1 如何确定一个多项式的公因式？
系数：
最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
典例精析
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a + b + c )
pa+ pb +pc
p
=
知识要点
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
(2) 2a(b + c) - 3(b + c).
典例精析
分析：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
= 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc
= 4ab2(2a2 + 3bc).
另一个因式将是 2a2b + 3b2c，
它还有公因式是 b.
（2）2a(b + c) - 3(b + c)
= (b + c)(2a - 3).
做整式乘法运算去检验.
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？
如何检查因式分解是否正确？
例3 把下列多项式分解因式：
(1) －5a + 25a； (2) 3a －9ab；
(2) 3a －9ab
= 3a(а－3b).
解：(1) －5a + 25a
= －5a(a－5).
典例精析
1.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c；
(2) (a＋b)(a－b)－a－b.
(2)原式＝(a＋b)(a－b－1).
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
练一练
公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
小明的解法有误吗？
思 考
错误
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
小明
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
注意：某项提出莫漏 1.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x
= x(3x - 6y + 1)
小亮的解法有误吗？
错误
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
小亮
提出负号时括号里的项没变号
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
小华的解法有误吗？
错误
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
小华
公式法
2
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
是 a，b 两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
√
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:
( )2 - ( )2的形式.
（1）x2 + y2
（2）x2 - y2
( x + y )( x - y )
两数是平方，减号在中央。
√
×
√
√
（3） - x2 - y2
- ( x2 + y2 )
y2 - x2
（4） - x2 + y2
（5）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（6）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
( y + x)( y - x )
= (5x+4y)(5x-4y).
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解：(1)原式 =
5x
4y
5x
5x
4y
4y
a
b
4y
(5x)2 - (4y)2
例4 分解因式：(1) 25x －16y ； (2)(x+p) -(x+q)
典例精析
(2)原式=[(x+p)+ (x+q)] [(x+p)- (x+q)]
=(2x+p+q)(p-q)
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
归纳总结
解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2
= ( x2 + y2 )( x2 - y2 )
= ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ).
例5 分解因式：
(1) x4－y4；
典例精析
………… 一提（公因式）
…… 二套（公式）
三查
(多项式的因式分解要分解到不能再分解为止)
(2) 原式 = 3x(x －4y2)
= 3x[ x －(2y)2 ]
= 3x(x＋2y)(x－2y).
(2) 3x3－12xy2.
两数和(或差)平方公式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2 倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
归纳总结
两数和(或差)平方公式：
=（a ± b）2
a2± 2ab+ b2
凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解.
利用公式把某些具有特殊形式[如平方差式，两数和(或差)平方公式等]的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
首 ± 2首尾+ 尾 = ( 首±尾)
3、x + 4xy + 4y = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( )
2、m - 6m + 9 = ( ) - 2·( )·( ) + ( ) = ( )
1、a + 4a + 4 = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( )
a
2
a + 2
x
x 2y
x + 2y
2y
对照公式 a ± 2ab + b = (a ± b) 进行因式分解，你会吗？
m
m - 3
3
a
2
m
3
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
首 ± 2首尾+ 尾 = ( 首±尾)
下列各式是不是两数和(或差)平方公式？
（1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b 与 - 1 的符号不统一.
不是
分析：
不是
是
（4）中间项缺 2 倍.
例6 分解因式：
（1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2.
分析：(1)中，16x2 = (4x)2，
9 = 3 ，24x = 2·4x·3，
所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32.
2
a
b
b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为
-(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式.
解： (1) 16x2 + 24x + 9
= ( 4x + 3 )2.
= ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2
(2) -x2 + 4xy - 4y2
= -( x2 - 4xy + 4y2 )
= -( x - 2y )2.
例7 把下列各式分解因式：
（1）4x3y + 4x2y2 + xy3；
分析: (1)中有公因式 xy，应先提出公因式，再进一步分解因式；
解：(1)原式 = xy(4x2 - 4xy + y2)
= xy(2x - y)2.
（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36.
分析:中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36.
(2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62
= (a + b - 6)2.
例8 利用两数和(或差)平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算.
= 1.
= 2500.
课堂小结
因式
分解
定义
am + bm + mc = m(a + b + c)
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号
因式
分解
公式法
平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
两数和(或差)平方公式：
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
1. 把下列各式分解因式：
(1) 8m2n + 2mn =_____________；
(2) 12xyz - 9x2y2 =_____________；
(3) p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ) =______________；
(4) -x3y3 - x2y2 - xy =_______________.
2mn(4m + 1)
3xy(4z - 3xy)
(a2 + b2)(p - q)
-xy(x2y2 + xy + 1)
随堂检测
2. 把下列各式分解因式：
(1) 16a2 - 9b2 =__________________；
(2) ( a + b )2 - ( a - b )2=________；
(3) 9xy3 - 36x3y =____________________；
(4) - a4 + 16 =_______________________.
( 4a + 3b )( 4a - 3b )
4ab
9xy( y + 2x )( y - 2x )
( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a )
3.分解因式：(x - y)2 + y(y - x).
解法1：(x - y)2 + y(y - x)
= (x - y)2 - y(x - y)
= (x - y)(x - y - y)
= (x - y)(x - 2y).
解法2：(x - y)2 + y(y - x)
= (y - x)2 - y(y - x)
= (y - x)(y - x + y)
= (y - x)(2y - x).
4. 简便计算：
(1) 1.992 + 1.99 × 0.01；
解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01)
= 3.98.
(2) 20242 + 2024 - 20252；
(2) 原式 = 2024×(2024 + 1) - 20252
= 2025×(2024 - 2025)
= - 2025．
= 2024×2025 - 20252
(3) (- 2)101 + (- 2)100.
(3)原式= (-2)100×(-2 + 1)
= 2100×(- 1)
= - 2100.
5. (1) 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值；
解：(1) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
(2)原式 = (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)]
= (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1)
将 x =代入上式，得,原式 = 4.
(2) 化简求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x =.
= 2(2x + 1).
6.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x + 36；（2）4a2－4a + 1；
解：（1）原式 = x2－2·x·6 + 62
= (x－6)2.
（2）原式 = (2a)2－2·2a·1 + 12
= (2a－1)2.
（3）y2 + 2y + 1 - x2 .
(3) 原式 = (y + 1) - x
= (y + 1 + x)(y + 1 - x).
7. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5．
求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n).
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，

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