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上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是( )
A. B. C. D.
2.若实数、满足，下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
3.在中，设，，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共12小题，共54分。
5.若复数满足，则复数 ．
6.的二项展开式中项的系数为 ．
7.已知集合，则 ．
8.已知，则 用表示
9.已知，则 ．
10.在中，若面积，则 ．
11.函数的值域为 ．
12.某校要从名男生和名女生中任选人担任志愿者工作，每个人被选中的可能性相同且要求选出的志愿者中男女生都要有，则有 种不同的选法．
13.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 ．
14.平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点靠近点，则 ．
15.已知和是复平面上的两个动点，他们所对应的复数分别是和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积是 ．
16.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为为了使，则、两点间距离为 精确到
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是公差为的等差数列，其前项的和为，数列是公比为正实数的等比数列，且，．
求数列和的通项公式；
设，计算．
18.本小题分
若不是直角三角形，求证：．
已知，且，，求的值．
19.本小题分
已知平面直角坐标系中，向量．
求在上的投影向量；
若，且，求向量的坐标；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
求的单调递减区间
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
21.本小题分
对于函数，若在其定义域内存在，对于常数有成立，则称函数为“跃点”函数，并称为函数的“跃点”．
若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
若，求证：“”是“对任意，函数为跃点函数”的充要条件；
是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的实数和正整数的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：由 得，解得，故；
设公比，由，得，解得舍去，故．
因，
则 ．

18.【答案】解：不是直角三角形，均不等于，
、、均有意义，又，即，
得，即，
得，
整理得，得证；
，，，
又，，，故；
由，得，
故，，又，
由两角差的正弦公式得，
代入得．
19.【答案】 或
20.【答案】解： 由题意知
，
因为相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，
所以，得，
所以，
令，，解得，，
所以的单调递减区间是．
由题意知
，
令，，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是．

21.【答案】解：令，
由题意知，方程有解，
即，
整理得，
即，
，，解得，
故实数的取值范围为
充分性：
若，则，
此时方程转化为，
取，上式变为对任意均成立，故充分性得证
必要性：
由题意得，对任意，方程关于有解，
取，得，
整理得，
所以，故必要性得证，
综上，“”是“对任意，函数为跃点函数”的充要条件．
存在，
由题意知方程在上有个解，
即，
整理得，
即在上有个解，
令，其最小正周期，
又包含个完整周期，且端点值，
当时，每个周期内有个解，在上共个解，此时符合题意
当时，区间，内有个解，加上右端点也是解，则在上共个解，
令，解得，符合题意
当时，每个周期内有个解，且端点不是解，在上共个解，不可能有个解，不符合题意；
综上可得：或或．
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