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2025-2026学年内蒙古包头市第四中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列关于平面向量的说法正确的是( )
A. 若是共线的单位向量，则
B. 若，则
C. 若，则不是共线向量
D. 若，，则
3.某城市文旅部门统计了今年“五一”假期家网红露营地的单日接待游客数量单位：百人，其数据为，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列说法正确的是( )
A. 一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行
B. 和同一条直线都相交的两条直线一定相交
C. 经过空间中三个点有且只有一个平面
D. 经过两条相交直线有且只有一个平面
6.已知长方体中，，，则二面角所成平面角的余弦值为( )
A. B. ． C. D.
7.某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是．
A.
B.
C.
D.
8.已知正三棱锥的底面的边长为，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中不正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 当时， B. 当时，向量与向量的夹角为锐角
C. 存在，使得 D. 若，则
11.如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是( )
A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若在方向上的投影向量为，则 ．
13.复数满足，则的最大值为 ．
14.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度用上口直径为、底面直径为，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数，当实数取什么值时：
为纯虚数；
复数在复平面内对应点在第四象限．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
17.本小题分
中国居民膳食指南数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图求；
根据调查的数据，估计该地中学生体重的众数和上四分位数；
根据调查，样本数据落在区间的平均数是，方差是，落在区间的平均数是，方差是，据此求样本数据落在区间的总平均值和方差．
18.本小题分
如图，已知菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图．
求证：点是点在平面上的射影；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且．
记平面平面，证明：；
求点到平面的距离．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】解：因为向量，，且，
所以，
所以，
整理得，
所以，
因为，
所以；
因为，，
由可知，
所以，
解得，
所以．
17.【答案】
众数为，上四分位数为
；
18.【答案】解：证明：，为的中点，
，
菱形的边长为，又，，
连接，则，
又，
，
，
，
又，所以，
，
又，且，平面，
平面，
点是点在平面上的射影；
设点到面的距离为，设菱形边长为，则的面积为，
；
的面积为，由Ⅰ知平面，
，
，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值．
19.【答案】证明：因为为正方形，所以，
平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以

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