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2025-2026学年河北省NT20名校联合体高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是( )
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 无法确定
5.某校为了解高一学生的月阅读时间单位：小时，得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为，在内的频率为，在内的频率为，在内的频率为，在内的频率为，若月阅读时间不低于小时的学生共有人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为( )
A. B. C. D.
6.一个正四面体的四个面分别标有数字，，，，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
7.在中，，，若点满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在边长为的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，，则下列结论正确的是( )
A. 为纯虚数
B.
C.
D. 若是实系数方程的一个根，则另一个根为
10.某同学进行了次掷骰子点数试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法：
若平均数为，则方差可能为；
若中位数为，则众数可能为；
若平均数为，则极差可能为；
若中位数为，则方差可能为．
其中正确的说法是( )
A. B. C. D.
11.如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是( )
A. 点在直线上
B. 直线与直线所成角的余弦值大于
C. 线段的长度为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果正面记作，反面记作，每次抛掷三枚硬币得到一组三位数如表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面，连续生成以下组随机数：，，，，，，，，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这组数据估计该事件的概率，则估计值为 用最简分数表示
13.已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为 ．
14.在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部含边界一点，且满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知两个不共线的向量，，设，，．
若，求实数，的值；
设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值．
16.本小题分
某校高一年级共有学生人，其中男生人，女生人，为了解学生周末体育锻炼时间单位：小时，学校采用分层随机抽样的方法，按性别比例分配样本，抽取了一个容量为的样本，男生样本中，体育锻炼时间的平均值为小时，方差为，女生样本中，体育锻炼时间的平均值为小时，方差为，另外，在该样本中，将体育锻炼时间达到小时及以上定义为“运动达标”统计发现，男生样本中有人运动达标，女生样本中有人运动达标．
求样本中男生和女生各有多少人，并计算样本中所有学生体育锻炼时间的平均值和方差；
用样本中男、女生的运动达标率分别估计全校男、女生的运动达标率，现从全校高一年级中随机抽取名学生假设每次抽取相互独立，且性别比例与全校一致，若运动达标率与性别相互独立，求这名学生中至少有名女生且恰有人运动达标的概率．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点．
求证：平面平面；
点是线段上的动点不与端点重合，若二面角的大小为，若，求的值．
18.本小题分
一个盒子里装有个完全相同的球，分别标有数字、、，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为定义事件：是奇数为事件，是质数注：不是质数，和是质数为事件，是偶数为事件．
求，，；
判断事件与是否相互独立，并说明理由；
求事件“与至少有一个发生，且发生”的概率．
19.本小题分
在凸四边形中，对角线平分，，，，．
证明：；
求；
求；
点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】人，人，平均值小时，方差

17.【答案】因为点，分别为，的中点，则，
且平面，平面，所以平面，
在矩形中，为中心，则为的中点，
因为为的中点，则，
且平面，平面，所以平面，
又因为，，平面，所以平面平面

18.【答案】，，
事件与相互独立．
理由如下：事件表示“第一次摸出奇数且第二次摸出质数”，则，，，，
，则．
因为，所以，
故事件与相互独立

19.【答案】证明：在中，因为，设，，
由三角函数定义得，
在中，由于平分，故，
由正弦定理，得，
整理得，
即

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