资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由可得，所以不等式的解集为
2．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据得到不等式，解得即可.
【详解】因为关于的一元二次方程有实根，
所以，解得，
即的取值范围是.
故选：B
3．已知，关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．3 B．2
C． D．
【答案】B
【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解．
【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根，
由韦达定理得，解得，
，故B正确．
故选：B．
4．若，则（ ）
A． B．
C． D．的大小关系无法确定
【答案】B
【分析】用作差法计算比较的大小关系．
【详解】
，故B正确．
故选：B．
5．若，则的（ ）
A．最小值为4 B．最小值为6
C．最大值为4 D．最大值为6
【答案】B
【详解】由，得，则，
当且仅当，即时取等号成立，
所以的最小值为6，无最大值.
6．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解.
【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时，
即．
故选：D．
7．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．7 B．12
C．15 D．16
【答案】A
【分析】根据题意可得：，代入中化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
则，
当且仅当时，即时等号成立，
故选：A．
8．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可.
【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足，
所以，由根与系数的关系得：，
结合题意得：
即，
解得或，
即实数的取值范围是，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可.
【详解】对于A：，，则，故，A正确.
对于B：当，，，时，，故B错误.
对于C：因为，所以，所以，C正确.
对于D：当，，，时，，，故，D错误.
10．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为9 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】根据基本不等式判断A、B、C，根据，利用二次函数性质判断D．
【详解】对于A，由，则，
当且仅当且，即时，等式成立，
所以的最小值为，故A错误；
对于B，由，则，
当且仅当且，即时，等式成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，由，
当且仅当且，即时，等式成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为，所以
所以，
当时，取得最小值，最小值为，故D错误．
11．已知不等式，下列说法正确的是（ ）
A．若，则不等式的解集为
B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为
C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是
D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可.
【详解】对于A，时，不等式为，
化简得，令，
解得，即或，
所以不等式的解集为，所以A正确；
对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误；
对于C，令，因为不等式对恒成立，
且是关于的一次函数，所以只需满足且即可.
由恒成立，由，解得，C正确；
对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，
所以使不等式成立的整数.
设对应的两个根为，则.
所以，解得，D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.
【详解】∵，即.
又，
.
故答案为：>.
13．已知，则的最大值为______.
【答案】
【分析】直接由基本不等式即可求解
【详解】，
当且仅当时，等号成立．
即的最大值为，
故答案为：
14．若存在，，则实数的最大值为___________．
【答案】
【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可.
【详解】原不等式化为
存在
只需，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
，则实数的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）对任意实数，.求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用换元法及基本不等式证明即可.
【详解】证明：因为，，
所以，，
令，，
则
当且仅当，即时等号成立；
所以，当且仅当时，等号成立.
16．（15分）（1）比较与的大小；
（2）设，比较与的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用作差法比较大小.
（2）利用作商法比较大小.
【详解】（1），
所以.
（2）由，得，，，
因此，
所以.
17．（15分）设函数．
(1)若，求的解集；
(2)解关于的不等式：．
(3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）；
（2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）；
（3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围.
【详解】（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为．
当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为．
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
（3）由对一切实数恒成立，
即对恒成立，
当时，，所以，
∵，∴，
当且仅当时，即时等号成立，∴．
18．（17分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台．
(1)当年产量为20台时，求公司所获年利润；
(2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？
(3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？
【答案】(1)万元；
(2)台；
(3)台.
【分析】（1）根据分段函数求值即可；
（2）解一元二次不等式，即可得解；
（3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断.
【详解】（1）当年产量为20台时，（万元），
所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元；
（2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即，
解得，又因为，所以，
即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台；
（3）当时，，
此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元，
当时，，
当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元，
综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元.
19．（17分）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.
(2)已知，，求的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
解：由权方和不等式得，
所以的最大值是5.
【答案】(1)证明见解析；
(2)60；
(3)解法不正确，理由见解析.
【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明；
（2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解；
（3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足.
【详解】（1）证明：
，当且仅当时，等号成立.
因为，所以.
（2）
，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为..
（3）这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立.
由，消去得，因为，所以本方程无实数解，
所以，的最大值不是5.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．3 B．2
C． D．
4．若，则（ ）
A． B．
C． D．的大小关系无法确定
5．若，则的（ ）
A．最小值为4 B．最小值为6
C．最大值为4 D．最大值为6
6．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
7．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．7 B．12
C．15 D．16
8．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为9 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．已知不等式，下列说法正确的是（ ）
A．若，则不等式的解集为
B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为
C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是
D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）．
13．已知，则的最大值为______.
14．若存在，，则实数的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）对任意实数，.求证：
16．（15分）（1）比较与的大小；
（2）设，比较与的大小.
17．（15分）设函数．
(1)若，求的解集；
(2)解关于的不等式：．
(3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
18．（17分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台．
(1)当年产量为20台时，求公司所获年利润；
(2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？
(3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？
19．（17分）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.
(2)已知，，求的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑