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第3章　图形的初步认识
3.6　角
3.6.3　余角和补角
华师版 七年级 数学（上）
导入新课
1.在水平面上，有一根倾斜的圆柱，想要知道它与地面的倾斜角，你能用什么方法测量它倾斜了多少度？
直接测量或间接测量(180°－∠1).
2．计算：(1)1直角＝____°，1平角＝____°；1°＝____′，1′＝____″.
(2)90°－27°56′＝______；180°－42°23′19＂＝__________．
90
180
60
60
62°4′
137°36′41″
探究新知
知识模块一　余角和补角的概念
余角
两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称这互余.
∠1 与∠2 互余；
∠1 是∠2 的余角；
∠2 是∠1 的余角.
1
2
1
∠1 与∠2 依然互余.
讨论1：此时∠1 与∠2 还互余吗？
1
2
角的数量关系与位置无关.
总结
讨论2：钝角有余角吗？
1
2
没有
总结
只有锐角有余角.
因为∠1 与∠2 互余，
所以 ∠1 +∠2 = 90°
或 ∠1 = 90° -∠2
或 ∠2 = 90° -∠1.
因为∠1 +∠2 = 90°，
所以∠1 与∠2 互余.
互余定义
1
2
几何语言：
探究1：你能猜猜∠3 与∠4 的数量关系吗？
3
4
2
补角
如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补．
3
4
因为∠3 与∠4 互补，
所以 ∠3 +∠4 = 180°
或 ∠3 = 180° -∠4
或 ∠4 = 180° -∠3.
因为∠3 + ∠4 = 180°，
所以∠3 与∠4 互补.
互补定义
几何语言
两个角的和等于90° (直角) ，就说这两个角互为余角，简称互余．
归 纳
几何语言：如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角；
如果两个角的和等于180° (平角) ，就说这两个角互为补角，简称互补．
∠α的余角＝90°－∠α，∠α的补角＝180°－∠α.
几何语言：如果∠3＋∠4＝180°，∠3、∠4互为补角；
范 例
(1)已知∠A＝28.28°，则∠A的余角的度数为_______，∠A的补角的度数为_______，∠A余角的补角的度数是_______；
61.72°
151.72°
118.28°
(2)已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小20°，求这个角．
解：设这个角的度数为x，
由题意，得90°－x＝(180°－x)－20°，
解得x＝40°.
答：这个角的度数是40°.
如图，点O在直线AB上，∠AOD＝22°30′，∠BOC＝45°，OE平分∠BOC，则∠EOC的补角是(　　)
A.∠AOC
B．∠AOE或∠DOB
C．∠AOE或∠DOB或∠AOC＋∠DOE
D．以上都不对
仿 例
B
若∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角为(　　)
A．(∠1－∠2)　　　B．(∠1＋∠2)　　　
C．∠1　　　 D．∠2
变 例
A
知识模块二　余角和补角的性质及综合运用
想想看，如果 ∠1 与∠2 互余，∠3与∠4互余，∠2 = ∠4，那么 ∠1 与 ∠3 有什么关系？
因为∠1 与∠2 互余，∠3与∠4互余，
所以∠1 = 90° - ∠2，∠3 = 90° - ∠4.
所以∠1 =∠3.
余角的性质：
因为∠2 =∠4，
所以∠1 = 90° - ∠4，
同角或等角的余角相等．
类比，∠1 与∠2 都互补，∠3 与∠4 互补，∠2 = ∠4，∠1 与∠3 的大小有什么关系？
补角的性质：
因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，
所以∠1 = 180° - ∠2，∠3 = 180° - ∠4.
所以∠1 =∠3.
因为∠2 =∠4，
所以∠1 = 180° - ∠4，
同角或等角的补角相等．
例1 已知∠α = 50°17'，求∠α 的余角和补角.
解：∠α 的余角 = 90° - 50°17' = 39°43'；
∠α 的补角 = 180° - 50°17' = 129°43'.
典例精析
例2 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，
A
O
B
C
D
E
补角的定义
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
A
O
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC
= (∠AOC +∠BOC )
= 90°
等式的性质
所以∠COD 和∠COE 互为余角，
余角的定义
A
O
B
C
D
E
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．
余角的性质：同角或等角的余角相等；
归 纳
补角的性质：同角或等角的补角相等．
若∠α＝∠β，且∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，则∠1与∠2的关系是__________，理由是____________________．
范 例
∠1＝∠2
等角的补角相等
将一副直角三角尺按下列的不同方式摆放，则∠1与∠2都是锐角且相等的是(　　)
仿 例
B
如图①，∠AOC和∠DOB都是直角．
(1)如果∠DOC＝28°28′，那么∠AOB的度数是多少？
变 例
解：(1)因为∠AOC＝∠DOB＝90°，
所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝∠AOC＋(∠BOD－∠DOC)＝90°＋(90°－28°28′)＝151°32′；
(2)∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC；
(2)找出图①中相等的角；
(3)若∠DOC越来越小，则∠AOB如何变化？
(4)在图②中利用能够画直角的工具再画一个与∠FOE相等的角．
(3)若∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
(4)如图，∠MON＝∠EOF.
课堂小结
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
4
3
1
2
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90° -∠2
∠1 +∠2 = 180°
或∠1 = 180° -∠2
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
随堂检测
1. 下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
D
2. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（ 　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
3. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°，则∠C 的度数是_______.
150°
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .
62°
28°
5. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 (180－x)°，
余角是 (90－x)°.
根据题意，得 180－x = 4(90－x).
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60°.
6. 如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，OM 平分∠BOD，∠MON 是直角，∠AOC = 50°.
(1)求∠BOD的度数.
解 ：因为 ∠AOC +∠AOD =180°，
因此，∠BOD 的度数是 50°.
∠BOD +∠AOD = 180°
且 ∠AOC = 50°，
所以∠BOD =∠AOC = 50° (同角的补角相等).
(2) 求 ∠DON 的度数.
解：因为 OM 平分∠BOD 且∠BOD = 50° (已知)，
所以∠DOM = ∠BOD = ×50° = 25°.
因为 ∠DON 与∠DOM 互余，
所以 ∠DON = 90° -∠DOM
= 90° - 25° = 65°.
因此， ∠DON 的度数是 65°.

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