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第3章　图形的初步认识
3.6　角
3.6.2　角的比较和运算
华师版 七年级 数学（上）
导入新课
下面两个钟面上，时针与分针间的夹角谁大谁小呢？
探究新知
知识模块一　比较角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠合法结论
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
1.若射线 O'C 与射线 OB 重合，那么∠DO'C___∠AOB.
2.若射线 O'C 在∠AOB外部，那∠DO'C___∠AOB.
=
>
O
B
A
O'
C
D
3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.
<
O'
C
D
范 例
在∠AOB内部任取一点C，作射线OC，则一定存在(　 　)
A．∠AOB＞∠AOC　　　　　　　
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＞∠AOC
D．∠AOC＞∠BOC
A
比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC和∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图(草图)即可．
变 例
解：①∠ABC＝30°，∠DEF＝60°，所以∠ABC＜∠DEF.
②如图，点A在∠DEF内部，所以∠ABC＜∠DEF.
知识模块二　作一个角等于已知角
如图，∠AOB为已知角，作一个角∠CDE＝∠AOB(不写作图过程，只保留作图痕迹)．
解：如图，∠CDE即为所求．
范 例
O
B
A
D
C
E
知识模块三　角的运算
已知：∠AOB（如图）．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′ =∠AOB．
B
O
A
能否用直尺和圆规准确地作出一个角等于已知角呢？
(1) 作射线 O′A′；
作法：
(2) 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
(3) 以点 O′ 为圆心，同样长为半径作弧，交 O′A′ 于点 C′；
O
D'
C'
B
A
C
D
B'
O'
A'
(4) 以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于点D′；
(5) 过点 D′ 作射线 O′B′. 则∠A′O′B′ 就是所求的角.
O
D'
C'
B
A
C
D
B'
O'
A'
∠A = 34°34′，∠B = 21°51′，则∠A ∠B.
＞
∠A +∠B = .
= 34°34′ + 21°51′
= 55°85′
56°25′
= 56°25′
∠A -∠B = .
= 34°34′ - 21°51′
= 33°94′ - 21°51′
= 12°43′
12°43′
探究1：图中共有几个角？如何表示它们之间的关系？
∠AOB
∠BOC
3 个
∠AOC + ∠BOC = ∠AOB
A
C
O
B
∠AOC
∠AOB - ∠BOC = ∠AOC
∠AOB - ∠AOC = ∠COB
共顶点，可加减.
总结
探究2 ：如图，借助三角尺画出 15°，75° 的角．用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试．
还能画出 105°、120°、150°、180° 的角.
75°
15°
观察右边图形，图中共有____个角，它们之间有什么关系？(请用和差表示)
解：∠AOC＝______＋________；
∠BOC＝_______－_______；
∠AOB＝________－________．
两个角相加或相减，得到的和或差也是角．
练一练
∠AOB
∠BOC
∠AOC
∠AOB
3
∠AOC
∠BOC
归 纳
如图，已知∠AOC＝∠BOD＝78°，∠BOC＝35°，则∠AOD的度数为(　　)
A．86°　　　　 B．156°　　　　
C．121°　　　　D．113°
范 例
C
(1)38°55′＋62°47′＝__________；　　　
(2)85°33′－29°48′＝__________；
(3)42°37′×2＝__________；　　　
(4)133°19′36″÷6＝__________．
仿 例
101°42′
55°45′
85°14′
22°13′16″
知识模块四　角的平分线
如图，用量角器和直尺在纸上画∠AOB = 84°. 然后沿点 O 对折，使边 OA 和 OB 重合，那么折痕把角分成了大小相等的两部分.
O
B
A
C
你还有其他方法将∠AOB 分成大小相等的两部分吗？
用量角器画出等分∠AOB 的射线 OC
42°
42°
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
角平分线的定义
因为 OC 是∠AOB 的角平分线，
所以∠AOC＝∠BOC = ∠AOB
或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
几何语言
O
B
A
C
类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？
A
B
O
C
D
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，所以
∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图，OC平分∠AOB.
归 纳
符号语言：因为OC平分∠AOB
所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.
如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是(　　)
A．∠COD＝∠AOB
B．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOD
D．∠BOC＝∠AOD
范 例
D
如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为(　　)
A．50°B．60°
C．65°D．70°
仿 例
D
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数．
[解析] 首先应确定∠MON 的转化问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON，再结合角平分线的定义，易得到
∠MOC＋∠CON＝ ∠AOB.
解：因为点 A，O，B 在一条直线上，所以∠AOB＝180°.
因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°.
又因为 OM，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线，
所以∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC.
所以∠MOC＋∠CON＝ (∠AOC＋∠BOC)
＝ ×180°＝90°.
又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON，
所以∠MON＝90°.
课堂小结
角的比较
比较角的大小
角的平分线
叠合法
度量法
角的平分线的性质
角的计算
随堂检测
2. 如图 (1)，∠AOB＝50°，OC 平分∠AOB，则∠AOC＝_____°.
1. 比较大小：74.45°____74°45′.
<
25
3. 如图 (2)，已知直线 AB，CD 相交于点O，OA 平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD 等于
(　　)
A．30° B．35°
C．20° D．40°
B
(1)
(2)
4. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，那么∠BOD 是多少度？
E
A
O
C
B
D
解：因为 OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，
所以∠AOB =∠BOC，∠COD =∠DOE.
因为∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，
所以∠BOC = 50°，∠COD = 30°.
所以∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 50° + 30° = 80°.
E
A
O
C
B
D

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