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第4章　相交线和平行线
4．1　相交线
4．1.1　对顶角
华师版 七年级 数学（上）
情景导入
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
相交
问题：我们已经知道，两条直线相交，只有____个交点．如图，直线AB与直线CD相交，交点为O，可以说成_________________________，一共有____个角．
这几个角又有什么样的关系呢？
1
“直线AB、CD相交于点O”
4
A
B
C
D
O
F
情景导入
自学互研
知识模块一　对顶角的定义
A
B
C
D
O
如图，两条直线AB、CD都经过同一个点O，我们就说这两条直线相交于点O，点O是它们的交点.可以说成“直线AB、CD相交于点O”.
如图 , 两条直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4.
角 ∠1和∠2 ∠2和∠3 ……
位置关系 ……
数量关系 ……
相邻
互补
相邻
互补
从位置关系与数量关系上看，图中还有哪些角之间存在某种关系呢？
如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.如∠1与∠2.
C
1
2
4
A
B
D
O
3
对顶角：两个角具有相同的顶点，且一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角．
C
1
2
4
A
B
D
O
3
对顶角的概念
问：图中∠1的对顶角是_____. 图中∠2的对顶角是_____.
∠3
∠4
判断两个角是否为对顶角的方法：
看它们有没有公共顶点；
看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就是看这两个角是否是两条直线相交所成的没有公共边的两个角．
1.下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(　　)
练习
C
2.下列判断：①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②如果两个角有公共端点，那么这两个角一定不是对顶角；③如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角；④如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．其中，正确的有(　 　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是(　　)
A．∠AOF和∠DOE
B．∠EOF和∠BOE
C．∠BOC和∠AOD
D．∠COF和∠BOD
C
自学互研
知识模块二　对顶角的性质
例1 如图，∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度 图中存在哪些相等关系？
C
1
2
4
A
B
D
O
3
解：因为直线AB与CD相交于O点,
由此我们得到
∠1=∠3，∠2=∠4.
∠4=180°-∠1=180°-30°=150°
∠3=180°-∠2=180°-150°=30°
∠2=180°-∠1=180°-30°=150°
如图，两条直线AB、CD相交于点O，求证：∠AOC＝∠BOD.
证明：因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOD＋∠BOC＝180° (平角的定义)，
所以∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等).
同样可以得到：∠AOD＝∠BOC.
对顶角的性质：对顶角相等.
根据教材P171例1，完成下面的内容．
例2 如图,直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°，
求∠BED的度数.
解：因为直线AB、CD相交于点
E，所以∠AEC与∠BED是
对顶角.根据对顶角相等，得
∠BED =∠AEC = 50°.
1.如图，直线AB，CD相交于点O，且OF为∠BOD内部一条射线，∠AOC＝70°，∠DOF＝40°，则∠BOF的度数为
(　　)
A．30° B．35° C．40° D．70°
练习
A
2.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(　 　)
A．90°
B．120°
C．150°
D． 180°
D
3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1，求∠AOF的度数．
解：因为OE平分∠BOD，OF平分∠COB，
所以∠COF＝ ∠BOC，∠DOE＝∠BOE，
∠BOD＝2∠DOE.
因为∠AOD∶∠DOE＝4∶1，
所以设∠AOD＝4x°，∠BOE＝∠DOE＝x°.
因为∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°，即4x°＋x°＋x°＝180°，
所以x＝30，即∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，
所以∠BOC＝∠AOD＝120°，
所以∠COF＝60°，∠AOC＝∠BOD＝60°，
所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝60°＋60°＝120°.
课堂小结
相交线
邻补角
对顶角
定义
邻补角______
对顶角______
定义
互补
相等
随堂检测
1.下列各图中的∠1与∠2是不是对顶角？
1
2
1
2
1
2
不是
不是
不是
2.如图，直线AB、CB分别与直线DE相交于点F、G，直线IJ、KL分别与直线MN相交于点O、P，说出各图中的对顶角.
A
B
C
E
F
D
G
(1)
K
P
L
N
O
J
M
I
(2)
解:(1)∠AFE与∠DFB， ∠AFD与∠EFB， ∠CGE与∠DGB， ∠CGD与∠BGE
解:(2) ∠MOI与∠JON， ∠MOJ与∠IOP， ∠MPL与∠KPN， ∠MPK与∠LPN
3.如图，∠1与∠2是对顶角，∠1=180°-∠A，∠2=35°，则∠A=____°
1
2
145

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