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第3章　图形的初步认识
3.6　角
3．6.1　角
华师版 七年级 数学（上）
导入新课
线段是一种基本的几何图形
角也是一种基本的几何图形
探究新知
知识模块一　角的定义
探究1：观察图中的图形，你发现它们有什么共同的特点吗？
角 (静态)：
边
顶点
边
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角．
这个公共端点是角的顶点
这两条射线是角的两条边
若将这条射线绕着端点旋转，会得到一个怎样的图形呢？
角
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
终边
始边
阴影部分是角的组成部分吗？
角包含两条射线所夹的平面区域.
角 (动态)：
一条射线绕端点旋转到角的终边和始边成一条直线，这时所成的角叫做平角；
如图，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OA 和 OB 重合时，又形成什么角？
A
O
B
想一想
绕端点旋转到终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角.
A
O
(B)
如图①，角是由两条有公共端点的射线组成的图形；
归 纳
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形；
两种特殊情况：
①如图②，绕着射线的端点旋转到角的终边和始边成一条直线，形成平角；
②如图③，绕着射线的端点旋转到终边和始边再次重合，形成周角．
下列语句正确的是(　 　)
A．两条射线组成的图形叫做角
B．一个角的两边越长，这个角越大
C．一条直线就是一个平角
D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形
范 例
D
探究：你知道这些角可以如何表示吗？
1. 用三个大写英文字母表示
A
O
B
∠AOB
∠BOA
必须把表示角的顶点的字母写在中间
2. 用顶点的一个英文字母表示
∠O
知识模块二　角的表示方法
3. 用一个希腊字母表示
α
∠α
4. 用一个数字表示
1
∠1
如图，能把∠α 记作∠O 吗？为什么？
不可以，以 O 为顶点的角不止一个，记作∠O 分不清是哪一个.
α
β
O
唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来记角.
角的表示方法
练一练
(1)用三个大写英文字母表示角，角的顶点必须写在正中间．如图①，记作________；
(2)用一个大写英文字母表示角(角的顶点处只有一个角)．如图②，记作____；
∠AOB
∠O
(3)用一个阿拉伯数字或希腊字母(α、β、γ)表示角时，应在角的顶点附近画一个小括弧，再标注上阿拉伯数字或希腊字母．如图③与图④，记作____________ ．
∠1、∠α
如图，下列说法错误的是(　　)
A．∠DAE也可表示为∠A
B．∠1也可表示为∠ABC
C．∠BCE也可表示为∠C
D．∠ABD是一个平角
范 例
C
仿 例
如图，从点O出发分别作射线OA、OB、
OC，则这三条射线可形成____个角，其中∠AOB用数字表示是____，∠2用三个字母表示是_______．
3
∠1
∠BOC
知识模块三　角的度量及换算
把 1 度等分成 60 份，每一份就是 1 分，记作 1'；
把 1 分等分成 60 份，每一份就是1秒，记作 1".
如果把周角等分成 360 份，每一份就是1度的角，1 度记作 1°.
1 周角＝　　°，1 平角＝　　°.
360
180
1°＝　　′，1′＝　　″.
60
60
类比时、分、秒，都是 60 进制.
度 (°)
分 (′)
秒 (″)
÷60
÷60
×3600
×60
×60
÷3600
角的度量：
① 对中（顶点对中心）；
② 重合（一边与量角器的零刻度线重合）；
③读数（读出另一边所在线的度数）.
最常用的度量角的工具是量角器.
1
常见的角的分类：
锐角：大于0°且小于90°的角.
直角：等于90°的角.
钝角：大于90°且小于180°的角.
2
高进制→低进制：按 1°＝60′，1′＝60″，先把度化成分，再把分化成秒. (小数化整数)
例题 (1) 把 18°15′ 化成用度表示的角；
所以 18°15′ = 18.25°.
解： 因为 15′ = = 0.25°，
典例精析
°
总 结
(2) 把 93.2° 化成用度、分、秒表示的角.
解：因为 1° = 60′ ，
因此 93.2° = 93°12′.
所以 0.2° = 60′×0.2 = 12′.
低进制→高进制：按 1″＝ ′，1′＝ °
先把秒化成分，再把分化成度. (整数化小数)
总 结
(1)1周角＝____°；1平角＝____°；1°＝____′；1′＝____″；
(2)1′＝____°；1″＝____′＝______°.
练一练
360
180
60
60
1.填空
2. 计算：
(1) 37°28′ + 24°35′； (2) 83°20′ - 45°38′20″；
解：(1) 37°28′ + 24°35′
(2) 83°20′ - 45°38′20″
逢“60”进“1”
不够减，向前一位借“1”
= 61°63′
= 62°3′.
= 82°79′60″ - 45°38′20″
= 37°41′40″.
计算：108°42′＝______度；35.28°＝____度____分____秒．
平角＝____度；15°＝____平角；18°15′＝______ (用度表示)．
范 例
仿 例
108.7
35
16
48
150
18.25°
知识模块四　方位角
东
南
西
北
东南
西南
西北
东北
日常生活中经常用到的一些方向，如图：
如果要准确地表示方向，那就要借用角的表示方式.
如太阳从东方升起，明天将有 4 ~5 级西北风，等等.
例题 如图，OA 是表示北偏东 30° 方向的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的角：
(1) 南偏东 25°；　　　
(2) 北偏西 60°.
北
东
西
南
A
30°
60°
O
25°
解：如图所示
典例精析
轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角；
归 纳
有时以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向．如“北偏东30°”“南偏东25°”“北偏西60°”．
如图，在图中表示下列方向的射线．
(1)北偏东30°；
(2)西北方向；
(3)南偏西60°.
范 例
解：如图．
北
东
30 °
45 °
60 °
课堂小结
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点
旋转而形成的图形．
角
概念
表示
度量和单位
1 周角＝　　°，1 平角＝　　°，
1°＝60′，1′＝60″
∠AOB 或 ∠BOA 或 ∠O
∠α
∠1
图中表示的角记作
图中表示的角记作
图中表示的角记作
180
360
随堂检测
1. 如图，∠ACB 可以表示为 ( )
A. ∠1 B. ∠2
C. ∠3 D. ∠4
B
C
B
A
1
2
3
4
2. 把 18°15′36″ 化为用度表示，下列正确的是 (　　)
A．18.15° B．18.16°
C．18.26° D．18.36°
C
3. 如图，货轮 O 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东 60° 的方向上. 同时， 在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北 (即北偏西 45°) 方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B、 货轮 C 和海岛 D
方向的射线.
解：如图所示.
B
C
D

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