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第12章　全等三角形
课题　角边角
导入新课
小明和几位同学踢足球．不慎将一楼王大爷家的一块三角形的玻璃打碎成如图的三块，现在同学们要到玻璃店去照样配一块赔给王大爷，准备将三块都带到玻璃店去，王大爷见状笑着说：“不必都带去，带一块就行了！”同学们知道要带哪一块去吗？
为什么？
探究新知
知识模块一　三角形全等的“角边角”判定方法
如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
4 cm
40°
60°
步骤：
1. 画一条线段 AB，使它等于 4 cm；
2. 画∠MAB = 60°，∠NBA = 40°，MA 与 NB 交于点 C.△ABC 即为所求.
4 cm
A
B
C
M
N
60°
40°
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．
都全等
60°
40°
4 cm
A
B
C
M
N
4 cm
40°
60°
下面用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
A
B
C
D
E
F
全等
“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (简写成“角边角”或“ASA”).
归纳总结
几何语言：
∵∠A =∠A′ (已知)，
AB = A′B′ (已知)，
∠B =∠B′ (已知)，
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∴△ABC≌△A′B′C′ ( ASA).
A
B
C
A′
B′
C′
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
B
C
A
D
典例精析
∵∠ABC＝∠DCB (已知)，
BC＝CB (公共边)，
∠ACB＝∠DBC (已知)，
证明：
在△ABC 和△DCB 中，
∴△ABC≌△DCB (ASA ).
B
C
A
D
(角角边)
思考：如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
知识模块二　三角形全等的“角角边”判定方法
分析：因为三角形的内角和等于 180°，因此有两个角对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是有“角边角”，可证得这两个三角形全等.
已知：如图，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°
(三角形内角和等于180°)，
∴∠C＝∠C′ (等量代换)．
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∵∠A＝∠A′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′ ( ASA )
两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
“角角边”判定方法
归纳总结
∵∠A =∠A′ (已知)，
∠B =∠B′ (已知)，
AC = A′C′ (已知)，
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∴ △ABC≌△A′B′C′ (AAS).
A
B
C
A′
B′
C′
例2 如图，在∠ABC 中，D 是边 BC 的中点，过点 C 作直线 CE，使 CE∥AB，交 AD 的延长线于点 E.
求证：AD = ED.
典例精析
证明：∵CE∥AB (已知)，
∴∠ABD =∠ECD，∠BAD =∠CED
(两直线平行，内错角相等）.
在∠ABD 和∠ECD 中，
∵∠ABD = ∠ECD (已证)，
∠BAD =∠CED(已证)，BD = CD(已知)，
∴△ABD≌△ECD(AAS).
∴AD = ED (全等三角形的对应边相等).
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′ 的高. 求证：AD＝ A′D′ .
例3 求证：全等三角形对应边的高相等.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
分析：从图中看出，AD，A′ D′ 分别属于△ABD 和△A′B′D′，要证 AD＝ A′D′，只需证明这两个三角形全等即可.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
证明：∵△ABC≌△A′B′C′ (已知)，
∴AB = A'B'(全等三角形的对应边相等)，
∠B =∠B'(全等三角形的对应角相等).
∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，
∴∠ADB =∠A'D'B' = 90°(已知).
在△ABD 和△A'B'D' 中，
∵∠ADB =∠A'D'B' = 90°(已知)，
∠B =∠B' (已证)，AB = A'B' (已证)，
∴△ABD≌△A'B'D'.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
归纳：全等三角形对应边上的高也相等.
思考：全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？
∴AD = A'D'.
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线分别相等.
典例精析
两角一边
内容
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别
两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS ”
课堂小结
1.如图所示，OD=OB，AD∥BC，则全等三角形有( )
A. 2 对
B.3 对
C.4 对
D. 5 对
C
【解析】选C. 根据题意 AD∥BC 得∠ADO =∠CBO，∠DOA =∠BOC，又 OD = OB，所以△DOA≌△BOC.同理可证△DOC≌△BOA，△DAB≌△BCD，△ACD≌△CAB，所以有 4 对.
2.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A. 带(1)去 B.带(2)去
C.带(3)去 D.带(1)(2)去
C
3.如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为 BC 虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，对应角相等，否则不能判定.
【解析】选C. 题干中图 (3) 包含原三角形的两角一边，根据“A. S. A. ”可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃.
4. 如图，∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可).
A
B
C
D
E
F
∠B =∠E
或∠A =∠D
( ASA )
( AAS )
AB = DE 可以吗？
×
AB∥DE
或 AC = DF
( SAS )
∠B = ∠E
5. 已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1 =∠2.求证：AB = AD.
A
C
D
B
1
2
证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B =∠D = 90°.
在△ABC 和△ADC 中，
∵∠1 =∠2 (已知)，
∠B =∠D (已证)，
AC = AC (公共边)，
∴△ABC≌△ADC ( AAS ).
∴ AB = AD.
A
C
D
B
1
2

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