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第12章　全等三角形
课题　等腰三角形的性质
导入新课
这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？
探究新知
知识模块一　探究等腰三角形的性质
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
如图，AB＝AC，
△ABC 是等腰三角形.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD. 你能发现什么现象吗？
D
A
B
C
做一做
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴.
探究归纳
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2. ∠B ＝∠C
A
C
B
D
你还有新的发现吗？
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
归纳总结
已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD.
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD.
在△ABD 与△ACD 中，
∵AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD，
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
(
(
1
2
例1 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°，求∠C 和∠A 的大小.
典例精析
解： ∵AB = AC
∴∠C =∠B = 80°.
又 ∵∠A+∠B+∠C = 180°
∴∠A =180° -∠B-∠C
=180 °-80 °-80 °
=20 °.
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B＝∠C
∠BAD＝∠CAD
∠ADB＝∠ADC＝90°
性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”.
A
B
D
C
例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°. 求：（1）∠ADC 的大小；
（2）∠1 的大小.
A
D
C
1
2
B
典例精析
A
D
C
1
2
B
(2)∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ，
∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB
= 180° - 30° - 90° = 60°.
∴AD⊥BC.
∴∠ADC =∠ADB = 90°.
解：(1) ∵AB = AC，BD = DC，
如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？
P
Q
A
B
O
知识模块二　利用等腰三角形的性质证明尺规作图
例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
P
Q
A
B
O
P
Q
A
B
O
在△APQ 和∠BPQ 中，
∵AP = BP，AQ = BQ，PQ = PQ，
∴△APQ≌△BPQ(SSS).
∴∠APQ =∠BPQ(全等三角形的对应角相等).
又∵AP = BP，
∴ AO = BO 且 PQ⊥AB (等腰三角形的三线合一).
因此直线 PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
证明：如图，设 AB 与 PQ 相交于点 O，连结 PA、PB、QA、QB.
如图所示，我们还曾利用尺规作图过点 C 作出已知直线 AB 的垂线 CP. 当点 C 在直线 AB 上时，垂线 CP 即是平角 ACB 的平分线，所在的直线，那么当点 C 在直线 AB 外时，你能证明所作的直线 CP 确实是直线 AB 的垂线吗？
A
B
C
M
N
P
A
B
C
P
点 C 在直线 AB 上
点 C 在直线 AB 外
思考
A
B
C
M
N
P
A
B
C
P
点 C 在直线 AB 上
点 C 在直线 AB 外
类似
相当于作线段 MN 的垂直平分线
就可以证明过点 C 所作的直线 CP
确实是已知直线 AB 的垂线
类似垂直平分线的证明
试写出整个证明过程.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
A
C
B
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
C
B
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
A
C
B
A
B
C
D
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
典例精析
分析：(1) 找出图中所有的相等角；
(2) 图中有哪些等腰三角形；
∠A =∠ABD，
∠C =∠BDC =∠ABC.
△ABC，
△ABD，
△BCD.
A
B
C
D
(3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢
∠BDC = ∠A +∠ABD
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
A
B
C
D
= 2∠A = 2∠ABD，
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，
∴ x + 2x + 2x = 180°.
解：∵AB = AC，BD = BC = AD，
∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD.
设∠A = x，则∠BDC =∠A + ∠ABD = 2x，
从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x.
于是在△ABC 中，有
∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°.
在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x.
归纳总结
等腰三角形的性质
等边对等角
等边三角形
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
三线合一
有三条对称轴，每个内角等于 60°.
课堂小结
1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
A
B
C
36°
A
B
C
120°
∠B =∠C = 72°
∠B =∠C = 30°
随堂检测
2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为
；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为
____________________；
(3) 等腰三角形一个角为 120°，它的另外两个角为
.
75°，30°
72°，72° 或 36°，108°
30°，30°
结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.
① 顶角 + 2×底角 = 180°，② 顶角 = 180°－2×底角，
③ 底角 =（180°－顶角）÷2，④ 0°＜顶角＜180°
⑤ 0°＜底角＜90°.
3. 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边 AB 和 AC 是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:①工人师傅在测量了∠B 为 37°以后，并没有测量∠C ，就说∠C 的度数也是 37°；②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁 BC 的中点 D，然后在 AD 两点之间钉上一根木桩
，他们认为木桩是垂直横梁的.
A
C
B
D
工人师傅的说法是对的，△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以得出这样的结论.
请同学们想想，工人师傅的说法对吗？请说明理由.

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