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3.8 三元一次
方程组
一次方程（组）
第3章
（湘教版）七年级
上
学习目标
1.理解三元一次方程，三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
2.经历解三元一次方程组的过程，进一步体会“消元”思想在解方程组中的应用。
3.通过对三元一次方程组的学习，激发对数学的兴趣和热爱，培养分析问题、解决问题的能力与探索精神。
复习导入
1. 解二元一次方程组的基本思路。
消去一个未知数（简称消元），得到一个 一元一次方程，然后解这个一元一次方程， 求出一个未知数的值，接着再去求另一个未 知数的值.
复习导入
2. 用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。
分析实际题目找出两个等量关系
列出二元一次方程组
解方程组
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
新知探究
我们在列方程解许多实际问题时，其涉及的未知数可能不止两个，例如三个 .此时常常需要列出含有三个未知数的方程.
说一说：类比一元一次方程和二元一次方程的概念，请你给出三元一次方程和三元一次方程组的概念。
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程.
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
做一做
已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2倍，百位
数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12. 设个位数字为 x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
根据题意，所求方程组为
做一做
对于未知数为 x，y，z 的三元一次方程组，若 x，y，z 分别用数 ， ， 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ， ， ）叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
新知探究
解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
思考
①
②③
下面我们以
为例来探索三元一次方程组的解法.
新知探究
将方程①两边同乘2，得
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
④+②，得
①－③，得
把y =- 2，z = 1代入方程①，得x = 3.
④
⑤
⑥
因此，是原三元一次方程组的解.
新知探究
由此受到启发，解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解 . 消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.
例1 解三元一次方程组：
典例精练
④ × 2 － ⑤，得 .
①
②
解： ③ × 5 － ①，得 ④
③ × 3 － ②，得 ⑤
把y用42，z用-13代入方程③，得 .
把z用-13代入方程④，得 .
③
因此，是原三元一次方程组的解.
例2 解三元一次方程组：
典例精练
④ × 5 － ⑤，两边都除以37 ，得 .
①
②
解： ② × 3 － ①，得 ④
② + ③ ，得 ⑤
把x用-5，z用-1代入方程②，得 .
把z用-1代入方程④，得 .
③
因此，是原三元一次方程组的解.
做一做
自己动手求出本节开篇“做一做”栏目中的三位数，并将结果与同
学进行对比.
①
②
③
把④代入⑤，得 .
解： 把②代入①，得 ④
把②代入③，得 ⑤
两边同时除以12，得 .
典例精练
把y用1，z用3代入方程① ，得 .
把y用1代入方程②，得 .
因此，是原三元一次方程组的解.
课堂练习
解下列三元一次方程组：
（1）； （2）.
典例精练
④ － ①，得 .
①
②
解： ② + ③ ，得 ④
把x用1代入方程③，得 .
把 y用6代入方程① ，得 .
③
因此，是原三元一次方程组的解.
典例精练
④ － ⑤，两边都除以10 ，得 .
①
②
解： ③－4× ①，得 ④
② －5 × ① ，得 ⑤
把x用8，y用-5代入方程① ，得 .
把y用-5代入方程④，得 .
③
因此，是原三元一次方程组的解.
课堂总结
1. 三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
2. 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程.
课堂总结
3. 三元一次方程组的解：对于未知数为 x，y，z 的三元一次方程组，若 x，y，z 分别用数 ， ， 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ， ， ）叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
4.三元一次方程组的解法：解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解 . 消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.
作业布置
必做题
选做题
教材P138页习题——学而时习之
教材P138页习题——温故而知新
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