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小结与评价
有理数
第1章
（湘教版）七年级
上
知识图谱
思考回顾
1. 为什么要引入负数？有理数可以如何分类？
生活中存在一些具有相反意义的量，自然数、整数已满足不了实际生活计算的需要，所以要引入负数概念。
整数分为________ 、 ________ 、 ________ ；
分数分为________ 、 ________ ；
有理数分为 、 、零。
零上20℃，可表示为＋20℃
零下20℃，可表示为﹣20℃
正整数
负整数
零
正分数
负分数
例如
正有理数
负有理数
思考回顾
2.怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？
规定了_______、 _______和___________的直线就表示数轴。
① 画直线，定原点；
② 从原点向右(或上)的方向为正方向,从原点向左(或下)为负方向；
③ 选取适当长度为单位长度；
④ 在数轴上标出1、2、3、-1、-2、-3等各点。
单位长度
原点
正方向
0
1
2
3
-1
-2
-3
思考回顾
2.怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．
A
B
A点、B点分别表示哪个数？
0
1
2
3
-1
-2
-3
2、-3
思考回顾
求一个数的相反数的方法：a的相反数为 ___，其中0的相反数是___。
例如 ：5的相反数是-5，-9的相反数是9。
3. 如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？
求一个数的绝对值的方法：
若这个数小于0，那它的绝对值为____________；
若这个数等于0，那它的绝对值为____________；
若这个数大于0，那它的绝对值为____________。
例如 ：5的绝对值是5，-9的绝对值是9。
它的相反数
它本身
0
0
-a
思考回顾
4.怎样比较有理数的大小？
(1)利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．
(2)利用数的性质比较异号两数及与0的大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数．
(3)利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小．
思考回顾
5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算？
加法：同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
思考回顾
5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算？
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何一个数与0相乘，积仍为0；乘积是1的两个数互为倒数；多个有理数相乘，几个不是0的数相乘负因数的个数是偶数时，积为正数，负因数的个数是奇数时，积为负数。
除法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；（注意：0没有倒数）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（0除以任何一个非0的数，都得0）
思考回顾
5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算？
求n个相同因数a的积运算叫做乘方，乘方的结果叫做________，a叫做__________，n叫__________。任何数的0次方都是1。
幂
底数
指数
例：30=1（注：00无意义）
23=
思考回顾
5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算？
混合运算：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左至右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
思考回顾
6.有理数的运算满足哪些运算律？
加法交换律：a+b=b+a 　　
乘法交换律：a×b=b×a 　　
加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) 　　
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 　　
乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
注意事项
1. 0既不是正数也不是负数，在考虑数的范围时要防止遗漏0.
如绝对值等于本身的数有正数和0，绝对值等于相反数的数有负数和0.
2. 数轴是一条直线，由原点、正方向、单位长度三要素确定，三者缺一不可.
3. 把一个大于10（小于-10）的数用科学记数法表示成a× 10n的形式时，一定要注意a大于或等于1且小于10（a大于-10且小于或等于-1）， n为正整数.
4. 有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法，乘方实质是求几个相同因数的乘积.
典例精析
【考点一】负数的概念以及应用
某检修小组乘汽车沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东为正，向西为负，某天从A地出发，到收工时所走的路线（单位：千米）如下：+10，-5，+4，-9，+8，+12，-8。若汽车每千米耗油0.2升，问
（1）收工时检修组在A地何处？
（2）到收工时共耗油多少升？
典例精析
【考点一】负数的概念以及应用
解：
(1)(+10)+(-5)+(+4)+(-9)+(+8)+(+12)+(-8)=+12
(2)(|+10|+|-5|+|+4|+|-9|+|+8|+|+12|+|-8|)×0.2=56×0.2=11.2（升）
答：收工时检修组在A地东12千米处，共耗油11.2升
本题考查有理数的运算，注意汽车耗油量与汽车行驶方向无关，由汽车行驶的路程决定。
典例精析
【考点二】数轴、绝对值、相反数、倒数
在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（　　）
A．1 B．3 C．±2 D．1或﹣3
解：选D，在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数有两个：﹣1﹣2=﹣3；﹣1+2=1
此题可借助数轴用数形结合的方法求解．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点有两个，分别位于与表示数﹣1的点的左右两边．
典例精析
【考点二】数轴、绝对值、相反数
已知︱x-3︱+︱4-y︱=0，求x，y的值。
解：因为︱x-3︱≥0，︱4-y︱≥0，︱x-3︱+︱4-y︱=0，
所以︱x-3︱=0，︱4-y︱=0
所以x-3=0, 4-y=0
即x=3，y=4
绝对值的非负性是中考的重要考点。本题应用“如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”求解。
【考点二】数轴、绝对值、相反数、倒数
典例精析
【考点二】数轴、绝对值、相反数
若 互为相反数， 互为倒数，数轴上表示数 的点到 的距离是3，则 的值为　 　.
解：-3或-7
根据互为相反数的两个数和为0可得a+b=0，由乘积为1的两个数互为倒数可得cd=1，由 数轴上表示数 m 的点到 -2 的距离是3可得m=1或m=-5，代入所求代数式计算即可求解.
【考点二】数轴、绝对值、相反数、倒数
典例精析
【考点二】数轴、绝对值、相反数
因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，
数轴上表示数 m 的点到 -2的距离是3，
所以a+b=0，cd=1 ， m=1或-5，
当 m=1时，3a-2cd+3b-|m|=3(a+b)-2cd-|m|=0-2-1=-3 ；
当 m=-5时，3a-2cd+3b-|m|=3(a+b)-2cd-|m|=0-2-5=-7 ；
故 3a-2cd+3b-|m|的值为-3或 -7.
故答案为：-3或-7.
【考点二】数轴、绝对值、相反数、倒数
典例精析
【考点三】有理数的混合运算
计算：
（1）-14 – ×[ 2 +（-3）]2
（2）
典例精析
【考点三】有理数的混合运算
（1）-14 – ×[ 2 +（-3）]2
=-1- ×[（2-3）]2
=-1- ×(-1)2
=-1- ×1
=-
本题考查有理数的加减乘除混合运算的法则，本题先计算了小括号里的内容，再计算量乘方，再乘法，最后相减。
典例精析
【考点三】有理数的混合运算
（2）
本题考查有理数的加减乘除混合运算的法则，本题可以用乘法分配律，但是为寻求简便计算，我们先计算小括号内的，再进行乘法，最后相减。
=
=
=
=-3
典例精析
【考点三】有理数的混合运算
在进行有理数混合运算的过程中，我们总是寻求更简便的计算方法，以下是常用的几种技巧：
（1）转化法：关键的有三种：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是小数和分数的互化；
（2）凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解；
典例精析
【考点三】有理数的混合运算
（3）分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算；
（4）巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便；
（5）互为相反数的两个数可以先加，符号相同的数可以先加，同分母的分数可以先加。
典例精析
【考点三】有理数的混合运算
已知下列等式：
；；，…
（1）请仔细观察前三个等式的规律，写出第⑥个等式；
（2）请你找出规律，写出第n个等式(用含n的式子表示)；
（3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+ +199．
典例精析
【考点三】有理数的混合运算
解：（1）
（2）
（3），解得：
本题考查乘方的运算、有理数的加减乘除混合运算的法则，并探索数与式的规律。
作业布置
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