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河北沧州市沧县中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．5i B．8 C． D．5
2．已知向量，，，则（ ）
A．3 B． C． D．6
3．若甲、乙、丙、丁、戊五组数据（每组均含200个数据）的方差分别为42，39，51，45，37，则（ ）
A．乙组数据的波动最小，丙组数据的波动最大
B．戊组数据的波动最小，甲组数据的波动最大
C．丙组数据的波动最小，戊组数据的波动最大
D．戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大
4．已知，，，是四个不同的平面，，，且，将空间分成个不同的部分，，将空间分成个不同的部分，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点在同一水平面的，两点作为测量点，测得米，，，在处测得楼顶的仰角为45°，则该大楼的高度约为（ ）
A．83米 B．85米 C．87米 D．89米
6．若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
8．若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
二、多选题
9．已知一组样本数据为9，9，9，10，10，11，12，12，13，15，则（ ）
A．该组样本数据的众数为9 B．该组样本数据的中位数为11
C．该组样本数据的平均数为11 D．该组样本数据的第35百分位数为10
10．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
11．如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（ ）
A．平面平面
B．四面体外接球的表面积为
C．直线与直线相交
D．四面体与正三棱柱的公共部分的体积为
三、填空题
12．某实验室研发超导量子芯片、硅基自旋量子芯片、光量子芯片这三类芯片，其数量之比为.现按芯片类型进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取容量为40的样本进行性能稳定性测试，则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为______.
13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕边旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积为______.
14．在中，，，，分别是，上的点，且，，，且，则的最小值为______.
四、解答题
15．已知，是圆柱下底面圆的两条直径，，均为圆柱的母线，.
(1)求该圆柱的侧面积；
(2)证明：平面.
16．已知为中边上的点，且.
(1)证明：.
(2)若，且在上的投影向量等于，求与的夹角.
17．为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了1000户居民的月用水量（单位：吨），发现这些数据均分布在区间内，现对这1000个数据进行整理，并据此绘制频率分布直方图.

(1)求图中的值；
(2)为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使得80%的居民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）；
(3)已知该市有20万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月用水的总量.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，且，求的周长；
(3)若，在边上，是的角平分线，求的最大值.
19．如图，在四棱锥中，底面，，，且.
(1)若平面，证明：.
(2)设平面平面.
（ⅰ）证明：.
（ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】因为，所以的虚部为5.
2．A
【详解】因为，，
所以，所以.
3．D
【详解】因为，所以戊组数据的方差最小，丙组数据的方差最大，
故戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大
4．C
【详解】因为，所以，将空间分成3个不同的部分，因为，所以，将空间分成4个不同的部分，故，.
5．B
【详解】由题意得，
由正弦定理得，
代入数据，解得米，
因为在处测得楼顶的仰角为45°，所以，
则米，故该大楼的高度约为85米.
6．D
【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，
所以，
故，两点间距离的最大值为.
7．C
【详解】如图，
翻折前，，，
翻折后，，，则为二面角的平面角，即.
因为平面，且，所以平面，
又，所以平面.
因为平面，所以.
因为，，
所以由余弦定理得，
则，所以，
又平面，，所以平面，
故翻折后点到平面的距离为.
8．B
【详解】设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为，
则，
，
当且仅当时，等号成立.
所以数据，的方差的最小值为12.
9．ACD
【详解】样本数据的众数为9，中位数为，
平均数为，A，C均正确，B错误.
因为，所以该组样本数据的第35百分位数为10，D正确.
10．BD
【详解】因为，，
所以，，则，，
在复平面内对应的点位于第二象限，A错误，B，D均正确.
，C错误.
11．AB
【详解】对于A，正中，因为为棱的中点，所以，.
因为正三棱柱中，侧棱平面，平面，所以.
平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.所以A正确.
对于B，四面体中，底面.
因为，所以是直角三角形，所以其外接圆半径为.
所以四面体的外接球半径.
所以四面体外接球的表面积为.所以B正确.
对于C，因为侧棱平面，底面，所以平行于.
因为平面，平面，所以平面.
所以平面平面.
若直线与直线相交，记交点为M，则，又，直线与直线有两个公共点，
所以重合，显然不成立，所以直线与直线不相交.所以C错误.
对于D，如图，记，连接，交于点H.
连接，交于点G，连接.
四面体与正三棱柱的公共部分为三棱台.
因为.
所以.
所以.
四面体与正三棱柱的公共部分的体积为.故D错误.
故选：AB.
12．12
【详解】样本中超导量子芯片、光量子芯片的数量分别为，，
则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为.
13．
【详解】因为，，，
所以，
所以，
由，得，
所以平面图形绕边旋转一周得到的旋转体为圆台，
其体积.
14．/
【详解】因为，，
，
因为，所以，则，
当，时，取得最小值，且最小值为，
故的最小值为.
15．(1)
(2)证明：连接.因为，均为圆柱的母线，所以，
又平面，平面，所以平面.
连接，.因为，是圆的两条直径，所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面.
又平面，所以平面.
【详解】（1）解：因为，所以该圆柱的高为2，底面半径为1，
则该圆柱的侧面积为.
（2）略
16．(1)证明：因为，
所以，
所以，
即，所以.
(2)
【详解】（1）略
（2）如图，
在上的投影向量为，
由（1）知，
所以，
即，即，
又，所以，即，
所以，又，所以，
所以，
所以与的夹角为.
17．(1)
(2)24.3吨
(3)万吨
【详解】（1）因为，所以.
（2）设该临界值为吨.因为前3组的频率之和为0.5，前4组的频率之和为0.85，
所以.
由，
得，即该临界值为24.3吨.
（3）这1000户居民的月用水量的平均值的估计值为
，
所以估计该市居民月用水的总量为万吨.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，，
所以，
因为，所以，
又，所以.
（2）因为，所以，
由余弦定理，得，即，
又因为，所以，
所以的周长为.
（3）因为是的角平分线，所以，
由，得，
又，所以，
所以.
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，故的最大值为.
19．(1)因为底面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面.
因为平面，平面，平面平面，所以.
所以平面，因为平面，所以.
(2)（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以.
（ⅱ）
【详解】（1）略
（2）（ⅰ）略
（ⅱ）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.
因为平面，平面，所以，因为，所以平面，
因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角.
由（ⅰ）知，所以，设（），
则，所以.
，，，
则.
又，所以随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
所以二面角的正弦值的取值范围为.

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