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5.2勾股定理其逆定理（第三课时）
直角三角形
第5章
（湘教版）八年级
上
学习目标
1. 能利用勾股定理逆定理的数学模型解决现实世界的实际问题；
2. 运用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形.
新知导入
命题的形式为“若P，则q”，其逆命题的形式是什么呢？
勾股定理与其逆定理的真假又是怎样的？
新知探究
【说一说】
我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2+b2=c2.”它的逆命题是怎样的？
逆命题为：如果三角形的三边a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
新知探究
【探究】
如图，在△ABC中，已知AB=c，BC= a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？
新知探究
分析：到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个三角形是直角三角形. 于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有 一个角为直角. 联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直角， 则可判断△ABC是直角三角形. 下面我们按此思路来探索.
新知探究
如图，作Rt△A'B'C'，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.
在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得， A′B′2=a2+b2.
因为a2+b2=c2，
所以A′B′2=c2，即A′B′=c.
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′（边边边）.
因此∠C=∠C′=90°.
所以△ABC是直角三角形.
新知探究
于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题.
由此得到勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注：先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一.
新知探究
例4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a=6，b=8，c=10；
（2）a=12，b=15，c=20。
分析根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
（满足a2+b2=c2 的三个正整数称为勾股数.）
解（1）因为62+82=100，102=100， 所以62+82=102.
因此，这个三角形是直角三角形.
（2）因为122+152=369，202=400， 所以122+152≠202. 因此，这个三角形不是直角三角形.
例5 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8， AC=17，求DC的长.
解在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，
因为62+82=102，即BD2+AD2=AB2，
所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°.
所以∠ADC=180°-∠ADB=90°.
在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，
所以DC==15.
新知探究
课堂练习
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a=1，b= ，c=
（2）a=8，b=15，c=17；
（3）a=10，b=24，c=25；
（4）a=9，b=40，c=41.
解（1）∵a2+b2=c2
∴由a,b,c组成的三角形是直角三角形
（2）∵a2+b2=c2
∴由a,b,c组成的三角形是直角三角形
（3）∵a2+b2≠c2
∴由a,b,c组成的三角形不是直角三角形
（4）∵a2+b2=c2
∴由a,b,c组成的三角形是直角三角形
课堂练习
2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点， 且EC=BC. 求证：△AEF是直角三角形.
解∵正方形ABCD边长为4，
∴AB=AD=4,BE=3,CE=1,CF=DF=2
∵在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2;∴AE=5；
∵在Rt△CEF中，FE2=CE2+CF2;∴EF=
∵在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2;∴AF=2
∵AE2=EF2+AF2，∴△AEF是直角三角形
课堂总结
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数称为勾股数.
作业布置
1.必做题：教科书p172习题--学而时习之4
2.选做题：教科书p173习题--温故而知新7-8
谢谢观看
Thank you

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