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2025-2026学年甘肃省庆阳市环县第一中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.抛掷两枚质地均匀的骰子一次，为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则的所有可能取值为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过( )
A. B. C. D.
4.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
5.为了研究关于的线性相关关系，收集了组样本数据见表，若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是( )
A.
B. 去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变
C. 当时，的预测值为
D. 与的样本是负相关
6.已知随机变量满足，，则下列选项正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.当时，函数取得最小值，则( )
A. B. C. D.
8.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作算术研究中首次引入了二次剩余的概念二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用已知对于正整数，，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余从到这个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量的分布列如下表所示，其中，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
10.为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中分及以上为及格，分及以上为优秀，则下列说法正确的是( )
附：若，则，．
A. 该校学生体育成绩的方差为 B. 该校学生体育成绩的期望为
C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩的优秀率超过
11.如图，边长为的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有( )
A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值为
C. 直线与平面所成的角恒为
D. ，都存在过且与平面平行的平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从两点分布，若，则______．
13.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是 ．
14.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为：：，现从这三个地区中任意选取一个人．
求这个人患流感的概率；
如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率．
16.本小题分
某网红冰淇淋公司计划在市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．
个
千万元
该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为人，其中人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为人，其中人会购买该品牌冰淇淋完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为两个店的顾客购买率有差异．
买 不买 总计
分店一
分店二
总计
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从个不同的题目中随机抽取个题目进行作答已知这个题目中，选手甲只能正确作答其中的个，选手乙正确作答每个题目的概率均为，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
求选手乙正确作答个题目的概率；
求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴；
若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】； 有的把握认为两个店的顾客购买率有差异．
17.【答案】解：证明：因为为等边三角形，为的中点，
所以，
过作，垂足为，
因为底面为直角梯形，，，，，
所以，则，
由得，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
由可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，
由可知，轴平面，不妨取平面的法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.【答案】解：设事件为“选手乙正确作答个题目”，
则；
设选手甲正确作答的题目个数为，
则服从超几何分布，取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为：
所以；
设选手乙正确作答题目个数为，则服从二项分布，的所有可能取值为，，，，
所以，，
由可得，，，
因为，，
即甲乙答对题目数一样，但甲较稳定，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
19.【答案】的单调递减区间为，单调递增区间为 证明：，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由题意可知，，解得．
所以，则，
又，则，
所以曲线在处的切线方程为，
故曲线在处的切线平行于轴
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